Давайте решим каждое уравнение по отдельности.
a) Уравнение (-y^2 + 3y + 5 = 0) можно преобразовать, умножив его на -1:
[y^2 - 3y - 5 = 0]
Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):
[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]
В нашем уравнении (a = 1), (b = -3), (c = -5). Подставим значения:
[
y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2}
]
[
y = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}
]
Таким образом, корни уравнения:
[
y_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}
]
b) Уравнение (2x^2 + x + 67 = 0) тоже решим с помощью указанной формулы:
Здесь (a = 2), (b = 1), (c = 67). Подставляем значения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67}}{2 \cdot 2}
]
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 536}}{4}
]
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{-535}}{4}
]
Поскольку дискриминант отрицательный ( (1 - 536 < 0) ), у этого уравнения нет действительных корней. Но есть комплексные корни:
[
x = \frac{-1 \pm i\sqrt{535}}{4}
]
Таким образом, ответ для второго уравнения:
[
x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{535}}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{535}}{4}
]
В итоге, мы получили следующие результаты:
a) ( y_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} )
b) ( x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{535}}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{535}}{4} )
