Сумма первых 19 членов арифметической прогрессии равна 323 а сумма её первых 23 членов равна 529 сколько положительных трехзначных чисел содержится в этой прогрессии
Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a_1 \), а разность прогрессии как \( d \).
Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии дается формулой:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d) \]
Сначала подставим значения для первых 19 и 23 членов.
- Для \( n = 19 \):
\[ S_{19} = \frac{19}{2} (2a_1 + 18d) = 323 \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 19(2a_1 + 18d) = 646 \]
Разделим на 19:
\[ 2a_1 + 18d = 34 \quad (1) \]
- Для \( n = 23 \):
\[ S_{23} = \frac{23}{2} (2a_1 + 22d) = 529 \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 23(2a_1 + 22d) = 1058 \]
Разделим на 23:
\[ 2a_1 + 22d = 46 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
\[ \begin{cases} 2a_1 + 18d = 34 \quad (1)\\ 2a_1 + 22d = 46 \quad (2) \end{cases} \]
Вырезаем \( 2a_1 \) из обоих уравнений:
Вычтем (1) из (2):
\[ (2a_1 + 22d) - (2a_1 + 18d) = 46 - 34 \]
Это упрощается до:
\[ 4d = 12 \implies d = 3 \]
Теперь подставим значение \( d \) в (1):
\[ 2a_1 + 18 \cdot 3 = 34 \]
\[ 2a_1 + 54 = 34 \]
\[ 2a_1 = 34 - 54 \]
\[ 2a_1 = -20 \implies a_1 = -10 \]
Теперь у нас есть первый член прогрессии \( a_1 = -10 \) и разность \( d = 3 \).
Общая формула для \( n \)-го члена прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -10 + (n - 1) \cdot 3 = 3n - 13 \]
Теперь мы ищем количество положительных трёхзначных чисел \( a_n \):
Проверяем неравенство для нахождения \( n \):
\[ 100 \leq 3n - 13 \leq 999 \]
Решим первый предел:
\[ 3n - 13 \geq 100 \implies 3n \geq 113 \implies n \geq \frac{113}{3} \approx 37.67 \implies n \geq 38 \]
Решим второй предел:
\[ 3n - 13 \leq 999 \implies 3n \leq 1012 \implies n \leq \frac{1012}{3} \approx 337.33 \implies n \leq 337 \]
Таким образом, мы имеем:
\[ 38 \leq n \leq 337 \]
Теперь вычислим количество целых чисел \( n \) в этом диапазоне:
\[ n_{max} - n_{min} + 1 = 337 - 38 + 1 = 300 \]
Ответ: в этой арифметической прогрессии содержится 300 положительных трёхзначных чисел.
