Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a_1 ), а разность прогрессии как ( d ).
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии дается формулой:
[
S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d)
]
Сначала подставим значения для первых 19 и 23 членов.
- Для ( n = 19 ):
[
S_{19} = \frac{19}{2} (2a_1 + 18d) = 323
]
Умножим обе стороны на 2:
[
19(2a_1 + 18d) = 646
]
Разделим на 19:
[
2a_1 + 18d = 34 \quad (1)
]
- Для ( n = 23 ):
[
S_{23} = \frac{23}{2} (2a_1 + 22d) = 529
]
Умножим обе стороны на 2:
[
23(2a_1 + 22d) = 1058
]
Разделим на 23:
[
2a_1 + 22d = 46 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
[
\begin{cases}
2a_1 + 18d = 34 \quad (1)\
2a_1 + 22d = 46 \quad (2)
\end{cases}
]
Вырезаем ( 2a_1 ) из обоих уравнений:
Вычтем (1) из (2):
[
(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 18d) = 46 - 34
]
Это упрощается до:
[
4d = 12 \implies d = 3
]
Теперь подставим значение ( d ) в (1):
[
2a_1 + 18 \cdot 3 = 34
]
[
2a_1 + 54 = 34
]
[
2a_1 = 34 - 54
]
[
2a_1 = -20 \implies a_1 = -10
]
Теперь у нас есть первый член прогрессии ( a_1 = -10 ) и разность ( d = 3 ).
Общая формула для ( n )-го члена прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n - 1)d = -10 + (n - 1) \cdot 3 = 3n - 13
]
Теперь мы ищем количество положительных трёхзначных чисел ( a_n ):
Проверяем неравенство для нахождения ( n ):
[
100 \leq 3n - 13 \leq 999
]
Решим первый предел:
[
3n - 13 \geq 100 \implies 3n \geq 113 \implies n \geq \frac{113}{3} \approx 37.67 \implies n \geq 38
]
Решим второй предел:
[
3n - 13 \leq 999 \implies 3n \leq 1012 \implies n \leq \frac{1012}{3} \approx 337.33 \implies n \leq 337
]
Таким образом, мы имеем:
[
38 \leq n \leq 337
]
Теперь вычислим количество целых чисел ( n ) в этом диапазоне:
[
n_{max} - n_{min} + 1 = 337 - 38 + 1 = 300
]
Ответ: в этой арифметической прогрессии содержится 300 положительных трёхзначных чисел.
