Дан треугольник АВС. AC = 36,6 см; Z B = 45°; ZC = 60° Найди сторону А.В. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)
Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) с заданными параметрами, сначала найдем угол \( A \).
Сумма углов в треугольнике равна 180°:
\[ A + B + C = 180° \]
Здесь \( B = 45° \) и \( C = 60° \), следовательно:
\[ A + 45° + 60° = 180° \]
Отсюда:
\[ A = 180° - 105° = 75° \]
Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны \( AB \):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
где:
- \( a = BC \) (сторона, противоположная углу \( A \)),
- \( b = AC = 36.6 \, см \) (сторона, противоположная углу \( B \)),
- \( c = AB \) (сторона, противоположная углу \( C \)).
Для наших нужд:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{c}{\sin(60°)} = \frac{36.6}{\sin(45°)} \]
Нам известны значения синусов:
\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36.6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упростим уравнение:
\[ AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 36.6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \]
Отсюда:
\[ AB = 36.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Теперь упростим:
\[ AB = 36.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 36.6 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
Чтобы представить окончательный ответ в виде корня, можно приблизительно вычислить:
\[ AB = 36.6 \cdot \sqrt{1.5} \]
Теперь оставим ответ под знаком корня:
\[ AB = 36.6 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 36.6 \cdot 1.2247 \approx 44.83062 \]
После округления мы получаем:
\[ AB \approx 45 \]
Итак, окончательный ответ (упрощенный до наименьшего натурального числа под знаком корня):
\[ AB = 36.6 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
Остальной ответ является приближенном значением, если упростить до корней:
Таким образом, норма для ответа будет выглядеть следующим образом:
\[ AB = \frac{36.6 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad (упрощенное значение) \]
