Известно, что величина прогиба под собственным весом (измеряемая в метрах) тонкой горизонтальной планки, закрепленной в одном конце задается формулой, указанной на рисунке. В…

Для анализа задачи с использованием метода размерностей, мы начнем с определения размерностей каждого из параметров, влияющих на прогиб планки, и их зависимости от длины.

Предположим, что прогиб \(\delta\) может быть выражен в зависимости от различных параметров следующей формулой:

\[ \delta = \beta \cdot \frac{E^k \cdot p^n \cdot \delta^f \cdot g^m}{l^j} \]

где \(k, n, f, m, j\) - безразмерные показатели.

Сначала определим размерности каждого из параметров:

• \(E\) (модуль Юнга): \([E] = \text{Н/м}^2 = \text{М} \cdot \text{Т}^{-2} \cdot \text{Л}^{-1}\)
• \(p\) (плотность): \([p] = \text{кг/м}^3 = \text{М} \cdot \text{Л}^{-3}\)
• \(\delta\) (толщина): \([\delta] = \text{м} = \text{Л}\)
• \(g\) (ускорение свободного падения): \([g] = \text{м/с}^2 = \text{Л} \cdot \text{Т}^{-2}\)
• \(l\) (длина): \([l] = \text{м} = \text{Л}\)

Теперь, подставляя размеры в формулу и анализируя размерности, мы получаем:

\[ [\delta] = [\beta] \cdot \frac{[E]^k \cdot [p]^n \cdot [\delta]^f \cdot [g]^m}{[l]^j} \]

Так как \(\delta\) является мерой длины, ее размерность \([\delta] = \text{Л}\). Будем приравнивать размерности:

\[ \text{Л} = \frac{(\text{М} \cdot \text{Т}^{-2} \cdot \text{Л}^{-1})^k \cdot (\text{М} \cdot \text{Л}^{-3})^n \cdot (\text{Л})^f \cdot (\text{Л} \cdot \text{Т}^{-2})^m}{(\text{Л})^j} \]

Соберем все размерности:

• В числителе:

  • Масса: \(\text{М}^{k+n}\)
  • Длина: \(\text{Л}^{-k - 3n + f + m}\)
  • Время: \(\text{Т}^{-2k - 2m}\)

• В знаменателе:

  • Длина: \(\text{Л}^j\)

Сравниваем размерности:

1. \(\text{М}^{k+n} = 0\) (без массы): \(k + n = 0\) \(\Rightarrow n = -k\)
2. \(\text{Л}^{-k - 3n + f + m - j} = 0\) Подставим \(n\): \(-k + 3k + f + m - j = 0 \Rightarrow 2k + f + m - j = 0\)
3. \(\text{Т}^{-2k - 2m} = 0\) (без времени): \(k + m = 0 \Rightarrow m = -k\)

Теперь подставим \(m\) в предыдущее уравнение: \[ 2k + f - k - j = 0 \Rightarrow k + f - j = 0 \Rightarrow f = j - k \]

Теперь у нас есть система уравнений:

• \(n = -k\)
• \(m = -k\)
• \(f = j - k\)

Теперь посмотрим, как изменится прогиб, если мы увеличим длину \(l\) вдвое (\(l \rightarrow 2l\)). Подставим изменения в уравнение прогиба:

\[ \delta' = \beta \cdot \frac{E^k \cdot p^n \cdot \delta^f \cdot g^m}{(2l)^j} = \frac{1}{2^j} \cdot \left( \beta \cdot \frac{E^k \cdot p^n \cdot \delta^f \cdot g^m}{l^j} \right) = \frac{1}{2^j} \cdot \delta \]

Таким образом, если длина планки увеличивается в 2 раза, прогиб уменьшится в \(2^j\) раз. Значит, результат увеличится в \(2^j\) раз.

Чтобы определить значение \(j\), надо знать, как именно зависит прогиб от длины в исходной формуле. Предположим, что \(j = 3\) (стандартный случай для прогиба).

Тогда: \[ \text{Увеличение прогиба} = 2^3 = 8 \]

Таким образом, прогиб увеличится в 8 раз, и ответ: 8.