y=3x²+2x-1<y=x²-x+1 методом интервалов
Для решения неравенства \( 3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1 \) с помощью метода интервалов, сначала упростим неравенство:
Переносим все члены на одну сторону: \[ 3x^2 + 2x - 1 - (x^2 - x + 1) < 0 \]
Упрощаем: \[ 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + x - 1 < 0 \] \[ (3x^2 - x^2) + (2x + x) + (-1 - 1) < 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 2 < 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]
Итак, у нас есть два корня: \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = -2 \).
- Теперь необходимо определить знаки функции \( 2x^2 + 3x - 2 \) на интервалах, которые делятся корнями:
- Интервал \( (-\infty, -2) \)
- Интервал \( (-2, \frac{1}{2}) \)
- Интервал \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
- Проверим знак на каждом интервале, выбирая тестовые точки:
Для интервала \( (-\infty, -2) \), выберем \( x = -3 \): \[ 2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0 \]
Для интервала \( (-2, \frac{1}{2}) \), выберем \( x = 0 \): \[ 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0 \]
Для интервала \( (\frac{1}{2}, +\infty) \), выберем \( x = 1 \): \[ 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0 \]
- Теперь можем записать знак функции:
- \( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (\frac{1}{2}, +\infty) \).
- \( 2x^2 + 3x - 2 < 0 \) на интервале \( (-2, \frac{1}{2}) \).
- Решение неравенства: \[ x \in (-2, \frac{1}{2}) \]
Таким образом, решение неравенства \( 3x^2 + 2x - 1 < x^2 - x + 1 \) в интервалах — \[ x \in (-2, \frac{1}{2}) \]
