Реши матрицу
Давай решим поставленные задачи с матрицами A и B.
Матрица \( A \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Матрица \( B \): \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \]
- Найти \( A + B \):
\[ A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]
- Найти \( A - B \):
\[ A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -4 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \]
- Найти \( AB \):
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \\ 7 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
- Найти \( A^{-1} \) (обратная матрица):
Для нахождения обратной матрицы, сначала найдем определитель \( A \).
\[ \det(A) = 1(2 \times 1 - 3 \times 1) - 0(-1 \times 1 - 3 \times 2) + 2(-1 \times 1 - 2 \times 2) = -1 - 0 - 10 = -11 \]
Если определитель не равен нулю, можно найти обратную матрицу через формулы для алгебраических дополнений.
После вычислений можно получить обратную матрицу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{-11} \times \begin{pmatrix} -1 & -8 & 7 \\ -5 & -2 & 5 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]
Для остальных задач (например, \( A \times A^{-1} \) и \( A^{-1} \times A \)), так как \( A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I \), где \( I \) — единичная матрица.
