В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 корней из 3 а длина бокового ребра равна √43. Найдите объём пирамиды.
Для вычисления объёма правильной треугольной пирамиды (тетраэдра) можно использовать формулу:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h, \]
где \( V \) — объём, \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.
- Площадь основания:
Поскольку основание является правильным треугольником со стороной \( a = 4\sqrt{3} \), площадь основания можно вычислить по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. \]
Подставим значение \( a \):
\[ S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}. \]
- Высота пирамиды:
Обозначим высоту пирамиды как \( h \). В правильной треугольной пирамиде высота \( h \) может быть найдена с использованием высоты треугольника, который образуют середины боковых ребёр и вершина пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, средней линией треугольника основания и боковым ребром.
- Высота правильного треугольника с длиной стороны \( a \):
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} (4\sqrt{3}) = 6. \]
Так как основание является правильным треугольником, высота от вершины пирамиды до основания \( h \) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой основания.
Сторона основания \( a \) равна \( 4\sqrt{3} \), а его половина \( \frac{a}{2} = 2\sqrt{3} \).
- Применим теорему Пифагора:
По теореме Пифагора в треугольнике:
\[ h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{43})^2. \]
Подставляем значения:
\[ h^2 + 12 = 43, \] \[ h^2 = 43 - 12 = 31, \] \[ h = \sqrt{31}. \]
- Объём пирамиды:
Теперь можно найти объём пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (12\sqrt{3}) (\sqrt{31}) = 4\sqrt{3} \sqrt{31} = 4\sqrt{93}. \]
Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен \( 4\sqrt{93} \).
