Для вычисления объёма правильной треугольной пирамиды (тетраэдра) можно использовать формулу:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h,
]
где ( V ) — объём, ( S_{осн} ) — площадь основания, ( h ) — высота пирамиды.
- Площадь основания:
Поскольку основание является правильным треугольником со стороной ( a = 4\sqrt{3} ), площадь основания можно вычислить по формуле:
[
S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.
]
Подставим значение ( a ):
[
S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}.
]
- Высота пирамиды:
Обозначим высоту пирамиды как ( h ). В правильной треугольной пирамиде высота ( h ) может быть найдена с использованием высоты треугольника, который образуют середины боковых ребёр и вершина пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, средней линией треугольника основания и боковым ребром.
- Высота правильного треугольника с длиной стороны ( a ):
[
h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} (4\sqrt{3}) = 6.
]
Так как основание является правильным треугольником, высота от вершины пирамиды до основания ( h ) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой основания.
Сторона основания ( a ) равна ( 4\sqrt{3} ), а его половина ( \frac{a}{2} = 2\sqrt{3} ).
- Применим теорему Пифагора:
По теореме Пифагора в треугольнике:
[
h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{43})^2.
]
Подставляем значения:
[
h^2 + 12 = 43,
]
[
h^2 = 43 - 12 = 31,
]
[
h = \sqrt{31}.
]
- Объём пирамиды:
Теперь можно найти объём пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (12\sqrt{3}) (\sqrt{31}) = 4\sqrt{3} \sqrt{31} = 4\sqrt{93}.
]
Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен ( 4\sqrt{93} ).
