Гепард погнался за антилопой. Прыжок гепарда на 22% короче прыжка антилопы. За некоторый промежуток времени антилопа и гепард делают целое количество прыжков, но гепард на р%…

Для решения этой задачи давайте обозначим:

• \( L_a \) — длина прыжка антилопы
• \( L_g \) — длина прыжка гепарда
• \( t \) — время, в течение которого антилопа и гепард прыгают
• \( n_a \) — количество прыжков антилопы
• \( n_g \) — количество прыжков гепарда

Согласно условию, длина прыжка гепарда на 22% короче, чем длина прыжка антилопы:

\[ L_g = L_a \cdot (1 - 0.22) = L_a \cdot 0.78 \]

Производительность гепарда в прыжках обозначим как \( r \% \):

\[ n_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \]

Теперь рассмотрим расстояния, которые проходят антилопа и гепард за время \( t \):

1. Расстояние, пройденное антилопой:

\[ D_a = n_a \cdot L_a \]

2. Расстояние, пройденное гепардом:

\[ D_g = n_g \cdot L_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_g \]

Подставим \( L_g \):

\[ D_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_a \cdot 0.78 \]

Теперь, чтобы гепард не догнал антилопу, должно выполняться условие:

\[ D_g < D_a \]

Подставим расстояния:

\[ n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_a \cdot 0.78 < n_a \cdot L_a \]

Сократим на \( n_a \cdot L_a \) (предполагая, что они не равны нулю):

\[ \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot 0.78 < 1 \]

Приведем неравенство к более простому виду:

\[ 1 + \frac{r}{100} < \frac{1}{0.78} \]

Вычтем 1 с обеих сторон:

\[ \frac{r}{100} < \frac{1}{0.78} - 1 \]

Теперь вычислим \( \frac{1}{0.78} \):

\[ \frac{1}{0.78} \approx 1.2821 \]

Поэтому:

\[ \frac{r}{100} < 1.2821 - 1 \]

\[ \frac{r}{100} < 0.2821 \]

Умножив обе стороны на 100, получим:

\[ r < 28.21 \]

Следовательно, максимальное целое значение \( r \), при котором гепард не может догнать антилопу, составляет:

\[ \boxed{28} \]