Для решения этой задачи давайте обозначим:
- ( L_a ) — длина прыжка антилопы
- ( L_g ) — длина прыжка гепарда
- ( t ) — время, в течение которого антилопа и гепард прыгают
- ( n_a ) — количество прыжков антилопы
- ( n_g ) — количество прыжков гепарда
Согласно условию, длина прыжка гепарда на 22% короче, чем длина прыжка антилопы:
[
L_g = L_a \cdot (1 - 0.22) = L_a \cdot 0.78
]
Производительность гепарда в прыжках обозначим как ( r % ):
[
n_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)
]
Теперь рассмотрим расстояния, которые проходят антилопа и гепард за время ( t ):
- Расстояние, пройденное антилопой:
[
D_a = n_a \cdot L_a
]
- Расстояние, пройденное гепардом:
[
D_g = n_g \cdot L_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_g
]
Подставим ( L_g ):
[
D_g = n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_a \cdot 0.78
]
Теперь, чтобы гепард не догнал антилопу, должно выполняться условие:
[
D_g < D_a
]
Подставим расстояния:
[
n_a \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot L_a \cdot 0.78 < n_a \cdot L_a
]
Сократим на ( n_a \cdot L_a ) (предполагая, что они не равны нулю):
[
\left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot 0.78 < 1
]
Приведем неравенство к более простому виду:
[
1 + \frac{r}{100} < \frac{1}{0.78}
]
Вычтем 1 с обеих сторон:
[
\frac{r}{100} < \frac{1}{0.78} - 1
]
Теперь вычислим ( \frac{1}{0.78} ):
[
\frac{1}{0.78} \approx 1.2821
]
Поэтому:
[
\frac{r}{100} < 1.2821 - 1
]
[
\frac{r}{100} < 0.2821
]
Умножив обе стороны на 100, получим:
[
r < 28.21
]
Следовательно, максимальное целое значение ( r ), при котором гепард не может догнать антилопу, составляет:
[
\boxed{28}
]
