Решить неравенства: log 1.6 log 0.5 (х2 –х -6) ≥0; log 0,5 log 4 (2х2 +х -1) < 1; log 1,75 log 5 (х2 – 2х -3) ≤ 0.

Для решения данных неравенств необходимо рассмотреть каждое из них отдельно. При этом следует помнить о свойствах логарифмов, а также о знаках неравенств.

Неравенство 1:

\[ \log(1.6) \log(0.5) (x^2 - x - 6) \geq 0 \] В первую очередь определим знаки множителей:

1. \(\log(1.6) > 0\)
2. \(\log(0.5) < 0\)

Знак \((x^2 - x - 6)\) зависит от корней данного уравнения. Найдем корни: \[ x^2 - x - 6 = 0 \\ (x - 3)(x + 2) = 0 \] Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).

Теперь анализируем знаки:

• Для \(x < -2\): \(x^2 - x - 6 > 0\)
• Для \(-2 < x < 3\): \(x^2 - x - 6 < 0\)
• Для \(x > 3\): \(x^2 - x - 6 > 0\)

Теперь составим знак всего произведения: \[ \log(1.6) \log(0.5) (x^2 - x - 6) \] Так как \(\log(1.6) > 0\) и \(\log(0.5) < 0\), знак произведения будет зависеть от знака \((x^2 - x - 6)\):

• Для \(x < -2\): \(\text{положительно} \times \text{положительно} = \text{положительно}\)
• Для \(-2 < x < 3\): \(\text{положительно} \times \text{отрицательно} = \text{отрицательно}\)
• Для \(x > 3\): \(\text{положительно} \times \text{положительно} = \text{положительно}\)

Итого: \[ x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3 \]

Неравенство 2:

\[ \log(0.5) \log(4) (2x^2 + x - 1) < 1 \] Здесь:

1. \(\log(0.5) < 0\)
2. \(\log(4) > 0\)

Анализируем выражение \(2x^2 + x - 1 < 0\). Найдем его корни: \[ 2x^2 + x - 1 = 0 \\ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] Корни: \(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -1\).

Знак полинома зависит от промежутков:

• Для \(x < -1\): \(2x^2 + x - 1 > 0\)
• Для \(-1 < x < \frac{1}{2}\): \(2x^2 + x - 1 < 0\)
• Для \(x > \frac{1}{2}\): \(2x^2 + x - 1 > 0\)

Поскольку \(\log(0.5) < 0\) и \(\log(4) > 0\), знаки множителей определяют, что: \[ 2x^2 + x - 1 > 0 \quad \text{(инвертирование неравенства)} \] Таким образом: \[ x < -1 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2} \]

Неравенство 3:

\[ \log(1.75) \log(5) (x^2 - 2x - 3) \leq 0 \] Здесь:

1. \(\log(1.75) > 0\)
2. \(\log(5) > 0\)

Теперь нужно решить: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \\ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).

Знак полинома:

• Для \(x < -1\): \(x^2 - 2x - 3 > 0\)
• Для \(-1 < x < 3\): \(x^2 - 2x - 3 < 0\)
• Для \(x > 3\): \(x^2 - 2x - 3 > 0\)

Так как оба логарифма положительны, знак неравенства сохраняется: \[ x^2 - 2x - 3 \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 3 \]

Резюме:

1. Неравенство 1: \(x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3\)
2. Неравенство 2: \(x < -1 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2}\)
3. Неравенство 3: \(-1 \leq x \leq 3\)

Можно представить решения на числовой оси, если нужно.