Докажите тождество: a) (a + b) ^ 2 + (a - b) ^ 2 = 2(a ^ 2 + b ^ 2) б) (a + b) ^ 2 - (a - b) ^ 2 = 4ab в) a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 - 2ab r) (a + b) ^ 2 - 2b(a + b) = a ^ 2 - b…

Давайте докажем каждое из данных тождеств по порядку.

a) \( (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) \)

Доказательство:

1. Раскроем скобки: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

2. Сложим оба выражения: \[ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 \] \[ = 2(a^2 + b^2) \]

Таким образом, тождество доказано.

б) \( (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab \)

Доказательство:

1. Раскроем скобки: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

2. Найдем разность: \[ (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 \] \[ = 4ab \]

Таким образом, тождество доказано.

в) \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \)

Доказательство:

1. Раскроем скобки: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

2. Выразим \( a^2 + b^2 \): \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \]

Тождество доказано.

r) \( (a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2 \)

Доказательство:

1. Раскроем скобки: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ -2b(a + b) = -2ba - 2b^2 \]

2. Найдем разность: \[ (a + b)^2 - 2b(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ab + 2b^2) \] \[ = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 \] \[ = a^2 - b^2 \]

Таким образом, тождество доказано.

Все предложенные тождества успешно доказаны!