Решить

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся следующими соображениями:

Пусть площадь треугольника равна \( S_1 \), а площадь четырехугольника равна \( S_2 \). Согласно условию, их площади относятся как 1:8, то есть

\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{8}. \]

Нам дано, что периметр меньшего треугольника равен 7 см. Мы ищем периметр большего треугольника.

Периметры треугольников пропорциональны корням квадратным из их площадей, поскольку стороны пропорциональны, и, следовательно, их периметры также изменяются с тем же коэффициентом пропорциональности.

Итак, отношение периметров равно корню из отношения площадей:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}. \]

Теперь, пусть \( P_2 = \) периметр большего треугольника. Тогда:

\[ \frac{7}{P_2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. \]

Отсюда получаем:

\[ P_2 = \frac{28}{\sqrt{2}} = 14\sqrt{2}. \]

Таким образом, периметр большего треугольника равен \( 14\sqrt{2} \) см.