на ребрах AD, CD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки E,F. и C2. соответственно- середины этих рёбер.Считая ребро Куба равным 1, найдем следующие скалярные произведения. а) вектор B1A× вектор C2B; б)вектор B1A×вектор BE
в) вектор B1A×вектор C2E г) вектор B1A×вектор C2F
Для решения задачи сначала нужно определить координаты всех указанных точек в кубе ABCDA1B1C1D1, где длина ребра равна 1.
Рассмотрим следующие координаты:
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A1(0, 0, 1)
- B1(1, 0, 1)
- C1(1, 1, 1)
- D1(0, 1, 1)
Теперь найдем координаты необходимых точек:
1. **E** – середина ребра AD:
- E = \((0, 0, 0) + (0, 1, 0)\) / 2 = (0, 0.5, 0)
2. **F** – середина ребра CD:
- F = \((1, 1, 0) + (0, 1, 0)\) / 2 = (0.5, 1, 0)
3. **C2** – середина ребра CC1:
- C2 = \((1, 1, 0) + (1, 1, 1)\) / 2 = (1, 1, 0.5)
Теперь найдем необходимые векторы и скалярные произведения.
- Вектор \(\vec{B1A} = A - B1 = (0, 0, 0) - (1, 0, 1) = (-1, 0, -1)\)
- Вектор \(\vec{C2B} = B - C2 = (1, 0, 0) - (1, 1, 0.5) = (0, -1, -0.5)\)
- Вектор \(\vec{BE} = E - B = (0, 0.5, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 0.5, 0)\)
- Вектор \(\vec{C2E} = E - C2 = (0, 0.5, 0) - (1, 1, 0.5) = (-1, -0.5, -0.5)\)
- Вектор \(\vec{C2F} = F - C2 = (0.5, 1, 0) - (1, 1, 0.5) = (-0.5, 0, -0.5)\)
Теперь найдём скалярные произведения:
а) \(\vec{B1A} \times \vec{C2B}\):
\[
\vec{B1A} = (-1, 0, -1), \quad \vec{C2B} = (0, -1, -0.5)
\]
\[
\vec{B1A} \times \vec{C2B} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -0.5
\end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot (-0.5) - (-1) \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0) + \hat{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0.5) + \hat{k}(1)
\]
\[
= (-1, -0.5, 1)
\]
б) \(\vec{B1A} \times \vec{BE}\):
\[
\vec{BE} = (-1, 0.5, 0)
\]
\[
\vec{B1A} \times \vec{BE} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0.5 & 0
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0.5) - \hat{j}((-1) \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) + \hat{k}((-1) \cdot 0.5 - 0 \cdot (-1)) = \hat{i}(0 + 0.5) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-0.5)
\]
\[
= (0.5, 1, -0.5)
\]
в) \(\vec{B1A} \times \vec{C2E}\):
\[
\vec{C2E} = (-1, -0.5, -0.5)
\]
\[
\vec{B1A} \times \vec{C2E} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & -0.5 & -0.5
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}(0 \cdot (-0.5) - (-1) \cdot (-1)) - \hat{j}((-1) \cdot (-0.5) - (-1) \cdot (-1)) + \hat{k}((-1) \cdot (-0.5) - 0 \cdot (-1)) = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0.5 - 1) + \hat{k}(0.5)
\]
\[
= (-1, 0.5, 0.5)
\]
г) \(\vec{B1A} \times \vec{C2F}\):
\[
\vec{C2F} = (-0.5, 0, -0.5)
\]
\[
\vec{B1A} \times \vec{C2F} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 0 & -1 \\
-0.5 & 0 & -0.5
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}(0 \cdot (-0.5) - (-1) \cdot 0) - \hat{j}((-1) \cdot (-0.5) - (-1) \cdot 0) + \hat{k}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot (-0.5)) = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0.5 - 0) + \hat{k}(0)
\]
\[
= (0, -0.5, 0)
\]
Таким образом, получаем конечные результаты:
а) \((-1, -0.5, 1)\)
б) \((0.5, 1, -0.5)\)
в) \((-1, 0.5, 0.5)\)
г) \((0, -0.5, 0)\)
