Для определения компланарности векторов ( m ), ( n ) и ( p ) необходимо рассмотреть, можно ли выразить один из векторов через линейную комбинацию других двух. Векторы являются компланарными, если существует такая линейная зависимость, что один из векторов можно выразить через два других.
Векторы ( a ), ( b ) и ( c ) не компланарны, что означает, что они являются базисом трехмерного пространства, и любая комбинация этих векторов будет в том же пространстве.
Чтобы проверить компланарность векторов ( m ), ( n ) и ( p ), рассмотрим их:
[
m = -2a + b + c
]
[
n = -a + 3b + 2c
]
[
p = 4a + 5b + 6c
]
Для проверки, можно ли выразить один из этих векторов через другие два, мы можем составить матрицу из коэффициентов перед векторами ( a ), ( b ) и ( c ):
[
\begin{bmatrix}
-2 & 1 & 1 \
-1 & 3 & 2 \
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]
Теперь найдем ранг этой матрицы. Если ранг матрицы меньше 3, то векторы ( m ), ( n ), и ( p ) линейно зависимы (то есть компланарны).
Вычислим определитель этой матрицы:
[
D = -2 \begin{vmatrix}
3 & 2 \
5 & 6
\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \
4 & 6
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
-1 & 3 \
4 & 5
\end{vmatrix}
]
Вычислим определители:
(\begin{vmatrix}
3 & 2 \
5 & 6
\end{vmatrix} = (3)(6) - (2)(5) = 18 - 10 = 8)
(\begin{vmatrix}
-1 & 2 \
4 & 6
\end{vmatrix} = (-1)(6) - (2)(4) = -6 - 8 = -14)
(\begin{vmatrix}
-1 & 3 \
4 & 5
\end{vmatrix} = (-1)(5) - (3)(4) = -5 - 12 = -17)
Теперь подставим значения в определитель:
[
D = -2(8) - 1(-14) + 1(-17) = -16 + 14 - 17 = -19
]
Поскольку определитель ( D \neq 0 ), векторы ( m ), ( n ) и ( p ) линейно независимы, а значит, они не компланарны.
Таким образом, мы пришли к выводу, что заданные векторы ( m ), ( n ) и ( p ) являются некомпланарными.
