В кафе «Здесь всегда вкусно» несколько человек заказали вкуснейшие кексы. Один посетитель заказал 6 кексов, а остальные — по 13 кексов.16 декабря пришло другое количество…

Обозначим количество посетителей 15 декабря как \( n \), тогда один из них заказал 6 кексов, а остальные \( n-1 \) человек — по 13 кексов. Количество кексов, заказанных 15 декабря:

\[ 6 + 13(n - 1) = 6 + 13n - 13 = 13n - 7 \]

Теперь обозначим количество посетителей 16 декабря как \( m \). Один из них заказал 5 кексов, а остальные \( m - 1 \) — по 10 кексов. Количество кексов, заказанных 16 декабря:

\[ 5 + 10(m - 1) = 5 + 10m - 10 = 10m - 5 \]

Согласно условию задачи, количество кексов в оба дня одинаково. Значит,

\[ 13n - 7 = 10m - 5 \]

Приведем уравнение к более удобному виду:

\[ 13n - 10m = 2 \tag{1} \]

Также известно, что общее количество кексов больше 100 и меньше 200:

\[ 100 < 13n - 7 < 200 \tag{2} \] \[ 100 < 10m - 5 < 200 \tag{3} \]

Решим неравенства (2):

1. \( 13n - 7 > 100 \) \[ 13n > 107 \implies n > \frac{107}{13} \approx 8.23 \implies n \geq 9 \]

2. \( 13n - 7 < 200 \) \[ 13n < 207 \implies n < \frac{207}{13} \approx 15.923 \implies n \leq 15 \]

Таким образом, \( n \) может принимать значения от 9 до 15.

Теперь рассмотрим неравенства (3):

1. \( 10m - 5 > 100 \) \[ 10m > 105 \implies m > \frac{105}{10} = 10.5 \implies m \geq 11 \]

2. \( 10m - 5 < 200 \) \[ 10m < 205 \implies m < \frac{205}{10} = 20.5 \implies m \leq 20 \]

Таким образом, \( m \) может принимать значения от 11 до 20.

Теперь проверим все возможные значения \( n \) от 9 до 15 и найдем подходящие \( m \) так, чтобы уравнение (1) выполнялось.

Проверка значений:

1. \( n = 9 \): \[ 13 \cdot 9 - 10m = 2 \implies 117 - 10m = 2 \implies 10m = 115 \implies m = 11.5 \quad (\text{не целое}) \]

2. \( n = 10 \): \[ 13 \cdot 10 - 10m = 2 \implies 130 - 10m = 2 \implies 10m = 128 \implies m = 12.8 \quad (\text{не целое}) \]

3. \( n = 11 \): \[ 13 \cdot 11 - 10m = 2 \implies 143 - 10m = 2 \implies 10m = 141 \implies m = 14.1 \quad (\text{не целое}) \]

4. \( n = 12 \): \[ 13 \cdot 12 - 10m = 2 \implies 156 - 10m = 2 \implies 10m = 154 \implies m = 15.4 \quad (\text{не целое}) \]

5. \( n = 13 \): \[ 13 \cdot 13 - 10m = 2 \implies 169 - 10m = 2 \implies 10m = 167 \implies m = 16.7 \quad (\text{не целое}) \]

6. \( n = 14 \): \[ 13 \cdot 14 - 10m = 2 \implies 182 - 10m = 2 \implies 10m = 180 \implies m = 18 \quad (\text{целое}) \]

7. \( n = 15 \): \[ 13 \cdot 15 - 10m = 2 \implies 195 - 10m = 2 \implies 10m = 193 \implies m = 19.3 \quad (\text{не целое}) \]

Результат:

Таким образом, единственная пара целых чисел, удовлетворяющая всем условиям, это:

• \( n = 14 \) (посетителей 15 декабря)
• \( m = 18 \) (посетителей 16 декабря)

Ответ: 14 посетителей 15 декабря, 18 посетителей 16 декабря.