Обозначим количество посетителей 15 декабря как ( n ), тогда один из них заказал 6 кексов, а остальные ( n-1 ) человек — по 13 кексов. Количество кексов, заказанных 15 декабря:
[
6 + 13(n - 1) = 6 + 13n - 13 = 13n - 7
]
Теперь обозначим количество посетителей 16 декабря как ( m ). Один из них заказал 5 кексов, а остальные ( m - 1 ) — по 10 кексов. Количество кексов, заказанных 16 декабря:
[
5 + 10(m - 1) = 5 + 10m - 10 = 10m - 5
]
Согласно условию задачи, количество кексов в оба дня одинаково. Значит,
[
13n - 7 = 10m - 5
]
Приведем уравнение к более удобному виду:
[
13n - 10m = 2 \tag{1}
]
Также известно, что общее количество кексов больше 100 и меньше 200:
[
100 < 13n - 7 < 200 \tag{2}
]
[
100 < 10m - 5 < 200 \tag{3}
]
Решим неравенства (2):
( 13n - 7 > 100 )
[
13n > 107 \implies n > \frac{107}{13} \approx 8.23 \implies n \geq 9
]
( 13n - 7 < 200 )
[
13n < 207 \implies n < \frac{207}{13} \approx 15.923 \implies n \leq 15
]
Таким образом, ( n ) может принимать значения от 9 до 15.
Теперь рассмотрим неравенства (3):
( 10m - 5 > 100 )
[
10m > 105 \implies m > \frac{105}{10} = 10.5 \implies m \geq 11
]
( 10m - 5 < 200 )
[
10m < 205 \implies m < \frac{205}{10} = 20.5 \implies m \leq 20
]
Таким образом, ( m ) может принимать значения от 11 до 20.
Теперь проверим все возможные значения ( n ) от 9 до 15 и найдем подходящие ( m ) так, чтобы уравнение (1) выполнялось.
Проверка значений:
( n = 9 ):
[
13 \cdot 9 - 10m = 2 \implies 117 - 10m = 2 \implies 10m = 115 \implies m = 11.5 \quad (\text{не целое})
]
( n = 10 ):
[
13 \cdot 10 - 10m = 2 \implies 130 - 10m = 2 \implies 10m = 128 \implies m = 12.8 \quad (\text{не целое})
]
( n = 11 ):
[
13 \cdot 11 - 10m = 2 \implies 143 - 10m = 2 \implies 10m = 141 \implies m = 14.1 \quad (\text{не целое})
]
( n = 12 ):
[
13 \cdot 12 - 10m = 2 \implies 156 - 10m = 2 \implies 10m = 154 \implies m = 15.4 \quad (\text{не целое})
]
( n = 13 ):
[
13 \cdot 13 - 10m = 2 \implies 169 - 10m = 2 \implies 10m = 167 \implies m = 16.7 \quad (\text{не целое})
]
( n = 14 ):
[
13 \cdot 14 - 10m = 2 \implies 182 - 10m = 2 \implies 10m = 180 \implies m = 18 \quad (\text{целое})
]
( n = 15 ):
[
13 \cdot 15 - 10m = 2 \implies 195 - 10m = 2 \implies 10m = 193 \implies m = 19.3 \quad (\text{не целое})
]
Результат:
Таким образом, единственная пара целых чисел, удовлетворяющая всем условиям, это:
- ( n = 14 ) (посетителей 15 декабря)
- ( m = 18 ) (посетителей 16 декабря)
Ответ: 14 посетителей 15 декабря, 18 посетителей 16 декабря.
