Дано: АВСD - ромб. AD = 3 , внешний угол Д = 45 градусам,значит угол Д = 135 градусам. Найдите АС.

В ромбе все стороны равны, и противоположные углы равны. Поскольку \(AD = 3\), то и \(AB = BC = CD = 3\).

Угол \(D\) равен \(135^\circ\), значит, угол \(A\) (противоположный углу \(D\)) тоже равен \(135^\circ\).

В ромбе диагонали пересекаются под углом 90 градусов и делят его углы пополам. Таким образом, угол, который образуют диагонали, будет равен: \[ \angle ADB = 90^\circ - \frac{135^\circ}{2} = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ. \]

Ромб можно разделить на два равнобедренных треугольника \(ABD\) и \(CDB\) с основанием \(AB\) и высотой \(AD\). Теперь мы можем найти диагональ \(AC\) с помощью теоремы косинусов в треугольнике \(ABD\).

Для нахождения \(AC\), можно сначала найти угол \(ABD\) (он равен \(22.5^\circ\)), и затем применить теорему косинусов:

\[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle ADB) \]

Однако проще использовать разделение на треугольники. Поскольку \(AC\) является диагональю ромба, его можно найти через длину стороны и угол между диагоналями.

Тем не менее, находить по диагоналям по уголкам проще.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей.

В каждом равнобедренном треугольнике \(AOB\) (или \(COD\)) углы равны \(45^\circ\). Применяя тригонометрию, можно использовать формулу:

\[ AO = \frac{AB}{2 \cdot \sin(22.5^\circ)} \]

Однако проще, поскольку мы знаем, что:

\[ AC = 2 \cdot AO. \]

Используя \(AO\):

\[ AC = 2 \cdot \frac{3}{2 \cdot \sin(22.5^\circ)} = \frac{3}{\sin(22.5^\circ)}. \]

Теперь подставляем \(\sin(22.5^\circ) \approx 0.3827\) и считаем \(AC\):

\[ AC \approx \frac{3}{0.3827} \approx 7.83. \]

Таким образом, \(AC \approx 7.83\).