При измерении активного сопротивления резистора было произведено десять равноточных измерений, результаты которых 636,5 ом 636,9 ом 636,0 ом 636,5 ом 636,7 ом 636, 5 ом 636,8 ом 636,4 ом 636,5 ом 636,8 ом Оцените максимальную и относительную погрешности измерений и запишите результат эксперимента в виде доверительного интервала для двух значений доверительной вероятности = 0,95 и = 0,99.
Для решения данной задачи начнем с расчета среднего значения и стандартного отклонения для полученных измерений. Затем, применив уровни доверительной вероятности, определим доверительные интервалы.
### Шаг 1: Рассчитаем среднее значение
Дадим обозначения каждой из измеренных величин:
- \( X_1 = 636,5 \, \text{Ом} \)
- \( X_2 = 636,9 \, \text{Ом} \)
- \( X_3 = 636,0 \, \text{Ом} \)
- \( X_4 = 636,5 \, \text{Ом} \)
- \( X_5 = 636,7 \, \text{Ом} \)
- \( X_6 = 636,5 \, \text{Ом} \)
- \( X_7 = 636,8 \, \text{Ом} \)
- \( X_8 = 636,4 \, \text{Ом} \)
- \( X_9 = 636,5 \, \text{Ом} \)
- \( X_{10} = 636,8 \, \text{Ом} \)
Сначала находим среднее значение \( \bar{X} \):
\[
\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6 + X_7 + X_8 + X_9 + X_{10}}{10}
\]
\[
\bar{X} = \frac{636,5 + 636,9 + 636,0 + 636,5 + 636,7 + 636,5 + 636,8 + 636,4 + 636,5 + 636,8}{10}
\]
\[
\bar{X} = \frac{6365,6}{10} = 636,56 \, \text{Ом}
\]
### Шаг 2: Рассчитаем стандартное отклонение
Теперь вычислим стандартное отклонение \( S \):
\[
S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}
\]
где \( n = 10 \).
Сначала найдем значение \( (X_i - \bar{X})^2 \):
1. \( (636,5 - 636,56)^2 = (−0,06)^2 = 0,0036 \)
2. \( (636,9 - 636,56)^2 = (0,34)^2 = 0,1156 \)
3. \( (636,0 - 636,56)^2 = (−0,56)^2 = 0,3136 \)
4. \( (636,5 - 636,56)^2 = (−0,06)^2 = 0,0036 \)
5. \( (636,7 - 636,56)^2 = (0,14)^2 = 0,0196 \)
6. \( (636,5 - 636,56)^2 = (−0,06)^2 = 0,0036 \)
7. \( (636,8 - 636,56)^2 = (0,24)^2 = 0,0576 \)
8. \( (636,4 - 636,56)^2 = (−0,16)^2 = 0,0256 \)
9. \( (636,5 - 636,56)^2 = (−0,06)^2 = 0,0036 \)
10. \( (636,8 - 636,56)^2 = (0,24)^2 = 0,0576 \)
Теперь суммируем:
\[
\sum (X_i - \bar{X})^2 = 0,0036 + 0,1156 + 0,3136 + 0,0036 + 0,0196 + 0,0036 + 0,0576 + 0,0256 + 0,0036 + 0,0576 = 0,3400
\]
Теперь подставляем в формулу для \( S \):
\[
S = \sqrt{\frac{0,3400}{10 - 1}} = \sqrt{\frac{0,3400}{9}} \approx 0,1922
\]
### Шаг 3: Оценим максимальную и относительную погрешности
Максимальная погрешность (в данном случае мы примем стандартное отклонение как величину, оценивающую неопределенность):
\[
\Delta X_{\text{max}} = S \approx 0,1922 \, \text{Ом}
\]
Относительная погрешность:
\[
\text{Относительная погрешность} = \frac{\Delta X_{\text{max}}}{\bar{X}} \approx \frac{0,1922}{636,56} \approx 0,000302
\]
### Шаг 4: Создание доверительных интервалов
Используя распределение Стьюдента, для \( n = 10 \) и доверительности \( 0,95 \) (критическое значение примерно \( t_{0.025, 9} \approx 2.262 \)), получаем:
\[
\text{Доверительный интервал для } \alpha = 0,95: \bar{X} \pm t_{0.025, 9} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 636,56 \pm 2,262 \cdot \frac{0,1922}{\sqrt{10}}
\]
\[
= 636,56 \pm 2,262 \cdot 0,0608 \approx 636,56 \pm 0,1375
\]
Доверительный интервал: \( (636,4225; 636,6975) \)
Для \( \alpha = 0,99 \) (критическое значение примерно \( t_{0.005, 9} \approx 3.250 \)), получаем:
\[
\text{Доверительный интервал для } \alpha = 0,99: \bar{X} \pm t_{0.005, 9} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 636,56 \pm 3,250 \cdot \frac{0,1922}{\sqrt{10}}
\]
\[
= 636,56 \pm 3,250 \cdot 0,0608 \approx 636,56 \pm 0,1976
\]
Доверительный интервал: \( (636,3624; 636,7576) \)
### Итоговые результаты:
1. Максимальная погрешность: \( 0,1922 \, \text{Ом} \)
2. Относительная погрешность: \( \approx 0,000302 \)
3. Доверительный интервал при \( \alpha = 0,95 \): \( (636,4225; 636,6975) \) Ом
4. Доверительный интервал при \( \alpha = 0,99 \): \( (636,3624; 636,7576) \) Ом
