Давайте обозначим длину прямоугольника как ( l ) (метров), а ширину как ( w ) (метров). Согласно условиям задачи, у нас есть две системы уравнений:
- Площадь:
[
l \cdot w = 300
]
- Периметр:
[
2l + 2w = 112 \quad \text{или} \quad l + w = 56
]
Теперь мы можем выразить одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим ( w ):
[
w = 56 - l
]
Теперь подставим это выражение для ( w ) в первое уравнение:
[
l \cdot (56 - l) = 300
]
Раскроем скобки:
[
56l - l^2 = 300
]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[
-l^2 + 56l - 300 = 0
]
Умножим уравнение на -1, чтобы его привести к стандартному виду:
[
l^2 - 56l + 300 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или квадратного корня.
Дискриминант ( D ) будет рассчитываться так:
[
D = b^2 - 4ac = 56^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 3136 - 1200 = 1936
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
l = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 \pm \sqrt{1936}}{2 \cdot 1}
]
[
\sqrt{1936} = 44 \quad \Rightarrow \quad l = \frac{56 \pm 44}{2}
]
Теперь решим два варианта:
- ( l = \frac{56 + 44}{2} = \frac{100}{2} = 50 )
- ( l = \frac{56 - 44}{2} = \frac{12}{2} = 6 )
Теперь находим соответствующие ширины:
- Если ( l = 50 ):
[
w = 56 - 50 = 6
]
- Если ( l = 6 ):
[
w = 56 - 6 = 50
]
Таким образом, длина и ширина прямоугольника:
- Длина ( l = 50 ) метров и ширина ( w = 6 ) метров,
или
- Длина ( l = 6 ) метров и ширина ( w = 50 ) метров.
Окончательный ответ: длина 50 м, ширина 6 м (или наоборот).
