Дано уравнение:
[
\frac{a + b}{a - b} = 5
]
Умножим обе стороны на (a - b):
[
a + b = 5(a - b)
]
Раскроем скобки:
[
a + b = 5a - 5b
]
Переносим все (a) и (b) на одну сторону:
[
a + b - 5a + 5b = 0
]
Это можно упростить до:
[
-4a + 6b = 0 \implies 4a = 6b \implies \frac{a}{b} = \frac{3}{2}
]
Теперь, чтобы найти значение (\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}), используем известное соотношение:
[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
]
[
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
]
Сначала выразим (a) и (b) через (b):
Обозначим (b = 2k), тогда (a = 3k). Найдем (a + b) и (a - b):
[
a + b = 3k + 2k = 5k
]
[
a - b = 3k - 2k = k
]
Теперь подставим в (\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}):
[
a^2 + b^2 = (3k)^2 + (2k)^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2
]
[
a^2 - b^2 = (3k)^2 - (2k)^2 = 9k^2 - 4k^2 = 5k^2
]
Теперь вычисляем отношение:
[
\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{13k^2}{5k^2} = \frac{13}{5}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{13}{5}
]
