Для решения задачи необходимо использовать закон о силе трения и понятие центростремительного ускорения.
Сначала определим максимальную силу трения, которая может действовать на гайку:
[ F_{тр} = \mu \cdot N ]
где ( \mu ) — коэффициент трения (( \mu = 0.3 )), ( N ) — нормальная сила, которая равна весу гайки. Предположим, что гайка имеет массу ( m ) (в данном случае масса нам не важна, так как она будет отменяться).
Таким образом, нормальная сила:
[ N = m \cdot g ]
где ( g ) — ускорение свободного падения (( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Таким образом, максимальная сила трения:
[ F_{тр} = \mu \cdot m \cdot g = 0.3 \cdot m \cdot 9.81 ]
Теперь определим центростремительную силу, необходимую для того, чтобы гайка оставалась на диске. Центростремительное ускорение ( a_c ) для точки, находящейся на расстоянии ( r ) от центра, определяется как:
[ a_c = \omega^2 \cdot r ]
где ( \omega ) — угловая скорость (рад/с), ( r ) — расстояние от центра до гайки (( r = 0.1 , \text{м} )).
Центростремительная сила ( F_{c} ) равна массе гайки, умноженной на центростремительное ускорение:
[ F_{c} = m \cdot a_c = m \cdot \omega^2 \cdot r ]
Гайка начнет соскальзывать, когда центростремительная сила равна максимальной силе трения:
[ m \cdot \omega^2 \cdot r = \mu \cdot m \cdot g ]
Массы ( m ) сократятся:
[ \omega^2 \cdot r = \mu \cdot g ]
Подставим известные значения:
[ r = 0.1 , \text{м}, \quad \mu = 0.3, \quad g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ]
Подставим в уравнение:
[ \omega^2 \cdot 0.1 = 0.3 \cdot 9.81 ]
Расчитаем правую часть:
[ 0.3 \cdot 9.81 = 2.943 ]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[ \omega^2 \cdot 0.1 = 2.943 ]
Разделим обе стороны на 0.1:
[ \omega^2 = \frac{2.943}{0.1} = 29.43 ]
Теперь найдём угловую скорость ( \omega ):
[ \omega = \sqrt{29.43} \approx 5.43 , \text{рад/с} ]
Таким образом, угловая скорость равномерного вращения диска, при которой гайка начнет соскальзывать, приблизительно равна ( 5.43 , \text{рад/с} ).
