решите неравенство корень х²+х+4<4
Для решения неравенства \(\sqrt{x^2 + x + 4} < 4\) сначала возведем обе стороны в квадрат, помня, что при этом нужно учитывать возможные изменения в знаках (но в данном случае это не повлияет на знак неравенства, поскольку обе стороны неотрицательны):
\[ x^2 + x + 4 < 16 \]
Теперь упростим неравенство:
\[ x^2 + x + 4 - 16 < 0 \] \[ x^2 + x - 12 < 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\) с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 3\).
Рассмотрим знаки выражения \(x^2 + x - 12\) на интервалах, которые определяются корнями: \((-\infty, -4)\), \((-4, 3)\) и \((3, +\infty)\).
Для интервала \((-\infty, -4)\) возьмем, например, \(x = -5\): \[ (-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 \]
Для интервала \((-4, 3)\) возьмем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 + 0 - 12 = -12 < 0 \]
Для интервала \((3, +\infty)\) возьмем, например, \(x = 4\): \[ 4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0 \]
Таким образом, знак неравенства \(x^2 + x - 12 < 0\) меняется на интервале \((-4, 3)\).
Итак, решение неравенства \(\sqrt{x^2 + x + 4} < 4\) будет:
\[ \boxed{(-4, 3)} \]
