Для решения неравенства (\sqrt{x^2 + x + 4} < 4) сначала возведем обе стороны в квадрат, помня, что при этом нужно учитывать возможные изменения в знаках (но в данном случае это не повлияет на знак неравенства, поскольку обе стороны неотрицательны):
[
x^2 + x + 4 < 16
]
Теперь упростим неравенство:
[
x^2 + x + 4 - 16 < 0
]
[
x^2 + x - 12 < 0
]
Теперь найдем корни квадратного уравнения (x^2 + x - 12 = 0) с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
]
Корни будут:
[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4
]
[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
Теперь у нас есть два корня: (x_1 = -4) и (x_2 = 3).
Рассмотрим знаки выражения (x^2 + x - 12) на интервалах, которые определяются корнями: ((-\infty, -4)), ((-4, 3)) и ((3, +\infty)).
Для интервала ((-\infty, -4)) возьмем, например, (x = -5):
[
(-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0
]
Для интервала ((-4, 3)) возьмем, например, (x = 0):
[
0^2 + 0 - 12 = -12 < 0
]
Для интервала ((3, +\infty)) возьмем, например, (x = 4):
[
4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0
]
Таким образом, знак неравенства (x^2 + x - 12 < 0) меняется на интервале ((-4, 3)).
Итак, решение неравенства (\sqrt{x^2 + x + 4} < 4) будет:
[
\boxed{(-4, 3)}
]
