Вот решения для предложенных задач:
Задача 1
Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см.
По теореме Пифагора:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
где ( c ) - гипотенуза, ( a ) и ( b ) - катеты. Подставим известные значения:
[ 17^2 = 15^2 + b^2 ]
Решим уравнение:
[ 289 = 225 + b^2 ]
[ b^2 = 289 - 225 ]
[ b^2 = 64 ]
[ b = 8 ]
Таким образом, второй катет равен 8 см.
Задача 2
Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.
Сторона ромба равна половине длины диагоналей, выявленных из центра ромба. Формула:
[ s = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} ]
где ( d_1 = 14 ) см и ( d_2 = 48 ) см.
Подставляем:
[ s = \sqrt{\left(\frac{14}{2}\right)^2 + \left(\frac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} ]
[ s = \sqrt{49 + 576} ]
[ s = \sqrt{625} = 25 ]
Таким образом, сторона ромба равна 25 см.
Задача 3
В параллелограмме две стороны 12 см и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
[ S = a \cdot b \cdot \sin(\phi) ]
где ( a = 12 ) см, ( b = 16 ) см, а ( \phi = 150° ).
Для нахождения синуса угла:
[ \sin(150°) = \sin(30°) = \frac{1}{2} ]
Теперь подставим в формулу:
[ S = 12 \cdot 16 \cdot \sin(150°) = 12 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} ]
[ S = 12 \cdot 8 = 96 ]
Таким образом, площадь параллелограмма равна 96 см².
Задача 4
В треугольнике ABC углы ( ZA = 30° ), ( ZB = 75° ), высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника ABC.
Чтобы найти площадь, сначала определим угол C:
[ ZC = 180° - 30° - 75° = 75° ]
Теперь можно использовать формулу для площади треугольника:
[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота ]
База ABC - это side AC. Используем синус для расчета:
[ AC = AD = \frac{BD}{\sin(ZA)} = \frac{6}{\sin(30°)} = \frac{6}{0.5} = 12 ]
Таким образом, базой будет 12 см:
[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 ]
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 36 см².
Задача 5
Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон - 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.
Если одна из сторон ( a = 5 ) см, то вторая сторона можно найти по теореме Пифагора:
[ d^2 = a^2 + b^2 ]
где ( d = 13 ) см. Подставляем:
[ 13^2 = 5^2 + b^2 ]
[ 169 = 25 + b^2 ]
[ b^2 = 169 - 25 = 144 ]
[ b = 12 ]
Теперь найдем площадь и периметр:
Площадь:
[ S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 ]
Периметр:
[ P = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 ]
Таким образом, площадь равна 60 см², а периметр - 34 см.
Задача 6
В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.
Площадь трапеции можно найти по формуле:
[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} ]
где ( a = 10 ), ( b = 20 ).
Сначала найдем высоту ( h ) с помощью теоремы Пифагора, вспомнив, что:
- Обозначим разницу между основаниями: ( \Delta = b - a = 20 - 10 = 10 ).
- Высота делит ( \Delta ) пополам: правая и левая части равны по 5 см.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике:
[
c^2 = h^2 + 5^2
]
[
13^2 = h^2 + 5^2
]
[
169 = h^2 + 25
]
[
h^2 = 169 - 25
]
[
h^2 = 144
]
[
h = 12
]
Теперь подставим в формулу площади:
[
S = \frac{(10 + 20) \cdot 12}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = 180
]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 180 см².
