решает как будто бы это решалось восьмиклассник Варнант 2 1.Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Днагонали ромба…

Вот решения для предложенных задач:

Задача 1

Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см.

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - гипотенуза, \( a \) и \( b \) - катеты. Подставим известные значения:

\[ 17^2 = 15^2 + b^2 \]

Решим уравнение:

\[ 289 = 225 + b^2 \] \[ b^2 = 289 - 225 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = 8 \]

Таким образом, второй катет равен 8 см.

Задача 2

Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.

Сторона ромба равна половине длины диагоналей, выявленных из центра ромба. Формула:

\[ s = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \]

где \( d_1 = 14 \) см и \( d_2 = 48 \) см.

Подставляем:

\[ s = \sqrt{\left(\frac{14}{2}\right)^2 + \left(\frac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} \] \[ s = \sqrt{49 + 576} \] \[ s = \sqrt{625} = 25 \]

Таким образом, сторона ромба равна 25 см.

Задача 3

В параллелограмме две стороны 12 см и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

\[ S = a \cdot b \cdot \sin(\phi) \]

где \( a = 12 \) см, \( b = 16 \) см, а \( \phi = 150° \).

Для нахождения синуса угла:

\[ \sin(150°) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим в формулу:

\[ S = 12 \cdot 16 \cdot \sin(150°) = 12 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} \] \[ S = 12 \cdot 8 = 96 \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна 96 см².

Задача 4

В треугольнике ABC углы \( ZA = 30° \), \( ZB = 75° \), высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Чтобы найти площадь, сначала определим угол C:

\[ ZC = 180° - 30° - 75° = 75° \]

Теперь можно использовать формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]

База ABC - это side AC. Используем синус для расчета:

\[ AC = AD = \frac{BD}{\sin(ZA)} = \frac{6}{\sin(30°)} = \frac{6}{0.5} = 12 \]

Таким образом, базой будет 12 см:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 36 см².

Задача 5

Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон - 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Если одна из сторон \( a = 5 \) см, то вторая сторона можно найти по теореме Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + b^2 \]

где \( d = 13 \) см. Подставляем:

\[ 13^2 = 5^2 + b^2 \] \[ 169 = 25 + b^2 \] \[ b^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ b = 12 \]

Теперь найдем площадь и периметр:

Площадь:

\[ S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 \]

Периметр:

\[ P = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 \]

Таким образом, площадь равна 60 см², а периметр - 34 см.

Задача 6

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a = 10 \), \( b = 20 \).

Сначала найдем высоту \( h \) с помощью теоремы Пифагора, вспомнив, что:

1. Обозначим разницу между основаниями: \( \Delta = b - a = 20 - 10 = 10 \).
2. Высота делит \( \Delta \) пополам: правая и левая части равны по 5 см.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике:

\[ c^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 13^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 169 = h^2 + 25 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = 12 \]

Теперь подставим в формулу площади:

\[ S = \frac{(10 + 20) \cdot 12}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = 180 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 180 см².