Площадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Чтобы найти площадь сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, можно использовать подобие фигур. 1. Давайте обозначим высоту конуса как \( h \). Плоскость делит высоту на отрезки длиной 4 и 8, значит вся высота конуса \( h = 4 + 8 = 12 \). 2. Поскольку плоскость сечения параллельна основанию, сечение будет образом меньшего конуса, который имеет ту же форму, что и изначальный конус. Обозначим расстояние от вершины конуса до плоскости секущей как \( h_1 = 4 \). 3. Отношение высот меньшего и полного конуса будет равно: \[ \frac{h_1}{h} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. \] 4. Поскольку площади похожих фигур относятся как квадрат отношения их линейных размеров, то площадь сечения \( S \) можно найти с помощью следующей формулы: \[ S = S_0 \cdot \left(\frac{h_1}{h}\right)^2, \] где \( S_0 \) — площадь основания большого конуса, равная 45. Таким образом, подставив значения, получим: \[ S = 45 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5. \] Ответ: площадь сечения конуса этой плоскостью равна 5.