реши систему уравнений 2 способами x²-y²=8 x-y=2
Для решения данной системы уравнений используем два метода: подстановку и метод сложения.
- Метод подстановки:
Имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \quad (1) \\ x - y = 2 \quad (2) \end{cases} \]
Сначала решим второе уравнение для \(x\): \[ x = y + 2 \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение: \[ (y + 2)^2 - y^2 = 8 \]
Раскроем скобки: \[ y^2 + 4y + 4 - y^2 = 8 \] Упрощаем: \[ 4y + 4 = 8 \] Теперь решаем относительно \(y\): \[ 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \]
Теперь подставим значение \(y\) обратно в уравнение \((2)\) для нахождения \(x\): \[ x = 1 + 2 = 3 \]
Таким образом, первое решение: \[ (x, y) = (3, 1) \]
- Метод сложения:
Рассмотрим ту же систему: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
Используем первую формулу для разности квадратов: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] Подставим \(x - y = 2\): \[ (x - y)(x + y) = 2(x + y) = 8 \] Теперь делим обе стороны на 2: \[ x + y = 4 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Теперь можем сложить оба уравнения: \[ (x - y) + (x + y) = 2 + 4 \] Это дает: \[ 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
Теперь подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений, например в \((3)\): \[ 3 + y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \]
Таким образом, второе решение: \[ (x, y) = (3, 1) \]
Итак, в обоих методах мы пришли к одному и тому же решению: \[ (x, y) = (3, 1) \]
