Для решения данной системы уравнений используем два метода: подстановку и метод сложения.
- Метод подстановки:
Имеем систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 8 \quad (1) \
x - y = 2 \quad (2)
\end{cases}
]
Сначала решим второе уравнение для (x):
[
x = y + 2
]
Теперь подставим это выражение для (x) в первое уравнение:
[
(y + 2)^2 - y^2 = 8
]
Раскроем скобки:
[
y^2 + 4y + 4 - y^2 = 8
]
Упрощаем:
[
4y + 4 = 8
]
Теперь решаем относительно (y):
[
4y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1
]
Теперь подставим значение (y) обратно в уравнение ((2)) для нахождения (x):
[
x = 1 + 2 = 3
]
Таким образом, первое решение:
[
(x, y) = (3, 1)
]
- Метод сложения:
Рассмотрим ту же систему:
[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 8 \
x - y = 2
\end{cases}
]
Используем первую формулу для разности квадратов:
[
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
]
Подставим (x - y = 2):
[
(x - y)(x + y) = 2(x + y) = 8
]
Теперь делим обе стороны на 2:
[
x + y = 4 \quad (3)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{cases}
x - y = 2 \
x + y = 4
\end{cases}
]
Теперь можем сложить оба уравнения:
[
(x - y) + (x + y) = 2 + 4
]
Это дает:
[
2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3
]
Теперь подставим найденное значение (x) в одно из уравнений, например в ((3)):
[
3 + y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1
]
Таким образом, второе решение:
[
(x, y) = (3, 1)
]
Итак, в обоих методах мы пришли к одному и тому же решению:
[
(x, y) = (3, 1)
]
