Разложите квадратный трёхчлен на множители: 1) x ^ 2 - 11x + 28 2) 6x ^ 2 + 5x + 1
Давайте разложим каждый из квадратных трёхчленов на множители.
- x² - 11x + 28
Для разложения трёхчлена на множители ищем такие два числа, которые в сумме дают -11 (коэффициент при x) и в произведении 28 (свободный член).
Эти числа: -4 и -7, так как:
- (-4) + (-7) = -11
- (-4) * (-7) = 28
Таким образом, разложение будет следующим:
\(x² - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)\).
- 6x² + 5x + 1
Искать номера можно по методу группировки или используя формулу с дискриминантом, поскольку у нас есть коэффициент при x², не равный 1.
Для начала найдем дискриминант:
D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1.
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня.
Находим корни:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\).
Теперь мы можем записать трёхчлен в виде:
\(6x² + 5x + 1 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{1}{2})\).
Для упрощения, умножим на 6:
\(= 6 \left(3x + 1\right) \left(2x + 1\right)\).
Итак, разложение на множители:
\(6x² + 5x + 1 = (3x + 1)(2x + 1)\).
Таким образом, у нас есть разложение обоих трёхчленов:
\(x² - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)\)
\(6x² + 5x + 1 = (3x + 1)(2x + 1)\)
