Чтобы решить уравнение (2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x), начнем с упрощения левой части.
По формуле косинуса:
[
\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
]
Таким образом, уравнение можно переписать как:
[
2\sin x = \tan x
]
Зная, что (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}), мы получим:
[
2\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}
]
Умножим обе стороны на (\cos x) (при условии, что (\cos x \neq 0)):
[
2\sin x \cos x = \sin x
]
Переносим (\sin x) влево:
[
2\sin x \cos x - \sin x = 0
]
Вынесем (\sin x) за скобки:
[
\sin x (2 \cos x - 1) = 0
]
Теперь у нас есть два случая для решения уравнения:
- (\sin x = 0)
- (2 \cos x - 1 = 0)
Решаем первый случай:
(\sin x = 0) дает решения:
[
x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
]
Решаем второй случай:
(2 \cos x - 1 = 0) приводит к:
[
\cos x = \frac{1}{2}
]
Это уравнение имеет решения:
[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Итак, все решения уравнения (2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x):
[
x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
]
или
[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
