решить 8x - x^2≥0

Чтобы решить неравенство \( 8x - x^2 \geq 0 \), сначала упорядочим его:

1. Перепишем неравенство в стандартной форме: \[ -x^2 + 8x \geq 0 \]

2. Умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства изменится): \[ x^2 - 8x \leq 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \[ x(x - 8) \leq 0 \]

4. Теперь найдем корни уравнения \( x(x - 8) = 0 \):

   • \( x = 0 \)
   • \( x - 8 = 0 \) => \( x = 8 \)

5. Теперь мы имеем два корня: \( x = 0 \) и \( x = 8 \). Эти корни разделяют числовую прямую на три интервала:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 8) \)
   • \( (8, +\infty) \)

6. Проверим знак выражения \( x(x - 8) \) на каждом интервале:

   • Для \( x \in (-\infty, 0) \): например, \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 - 8) = (-1)(-9) = 9 > 0 \]
   • Для \( x \in (0, 8) \): например, \( x = 1 \): \[ (1)(1 - 8) = (1)(-7) = -7 < 0 \]
   • Для \( x \in (8, +\infty) \): например, \( x = 9 \): \[ (9)(9 - 8) = (9)(1) = 9 > 0 \]

7. Теперь можем определить знаки:

   • \( x(x - 8) \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, 0] \) и \( [8, +\infty) \).

8. Таким образом, решение неравенства \( 8x - x^2 \geq 0 \): \[ x \in [0, 8] \]

Ответ: \[ x \in [0, 8] \]