1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. 2. Вероятность всхожести…

Для решения данных задач используем биномиальное распределение. Формула вероятности для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее число испытаний,
• \( k \) — число успехов (в нашем случае появление события \( A \)),
• \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании,
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

1. Вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

Для этого находим \( P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \), где \( n = 5 \) и \( p = 0.4 \).

• \( P(X=3) = \binom{5}{3} (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304 \)
• \( P(X=4) = \binom{5}{4} (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768 \)
• \( P(X=5) = \binom{5}{5} (0.4)^5 (0.6)^0 = 0.01024 \)

Суммируем: \[ P(X \geq 3) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744 \]

Ответ: \( P(X \geq 3) \approx 0.3174 \).

---

2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Ищем \( P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) \), где \( n = 4 \) и \( p = 0.9 \).

• \( P(X=3) = \binom{4}{3} (0.9)^3 (0.1)^1 = 4 \cdot 0.729 \cdot 0.1 = 0.2916 \)
• \( P(X=4) = \binom{4}{4} (0.9)^4 (0.1)^0 = 0.6561 \)

Суммируем: \[ P(X \geq 3) = 0.2916 + 0.6561 = 0.9477 \]

Ответ: \( P(X \geq 3) \approx 0.9477 \).

---

3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз.

Для точных значений используем нормальное приближение, так как \( n \) велико. Сначала найдем математическое ожидание и стандартное отклонение:

\[ \mu = np = 700 \times 0.35 = 245 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{700 \times 0.35 \times 0.65} \approx 12.18 \]

Теперь находим \( P(X = 270) \) и используем нормальное распределение для приближенных значений:

• Для \( P(X < 270) \), мы можем использовать z-показатель:

\[ z = \frac{270 - 245}{12.18} \approx 2.05 \]

Посмотрим по таблице Z:

• \( P(Z < 2.05) \approx 0.9798 \)

• Для \( P(X > 230) \):

\[ z = \frac{230 - 245}{12.18} \approx -1.23 \]

Ищем:

• \( P(Z < -1.23) \approx 0.1093 \) → тогда \( P(Z > 230) \approx 1 - 0.1093 = 0.8907 \)

Итак,

• \( P(X < 270) \approx P(X < 270) - P(X < 230) \)

Вся вероятность будет: \[ P(230 < X < 270) = P(X < 270) - P(X < 230) \approx 0.9798 - 0.1093 = 0.8705 \]

Но для точного вычисления значений лучше использовать статистические программы для биномиального распределения.

Ответы:

• \( P(X = 270) \) можно найти через биномиальную формулу, но сложно рассчитать вручную.
• \( P(X < 270) \approx 0.8705 \)
• \( P(230 < X < 270) \)

---

4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.

Решение аналогично задаче 1:

\[ P(X \geq 3) \approx 0.31744 \]

---

5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

Сначала вычисляем:

\[ P(X = 100) = \binom{300}{100} (0.6)^{100} (0.4)^{200} \]

Вычесления так же лучше делать с помощью статистических программ или калькулятора, так как значения биномиальных коэффициентов могут быть очень велики и требуют использования подхода, подобного нормальному приближению.

Для более приблизительного результата: \[ \mu = 300 \times 0.6 = 180 \] \[ \sigma = \sqrt{300 \times 0.6 \times 0.4} \approx 6.9282 \] Используем z-показатель:

\[ P(X = 100) \approx P(99.5 < X < 100.5) \approx \text{NormCDF} \text{ для соответствующего z} \]

Это также требует вычислений, и точное значение обычно ищется через программное обеспечение.

Ответ: Оценить вероятность можно только с помощью программного обеспечения.