Для решения данных задач используем биномиальное распределение. Формула вероятности для биномиального распределения:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n ) — общее число испытаний,
- ( k ) — число успехов (в нашем случае появление события ( A )),
- ( p ) — вероятность успеха в каждом испытании,
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!}).
1. Вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в пяти испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
Для этого находим ( P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) ), где ( n = 5 ) и ( p = 0.4 ).
- ( P(X=3) = \binom{5}{3} (0.4)^3 (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304 )
- ( P(X=4) = \binom{5}{4} (0.4)^4 (0.6)^1 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768 )
- ( P(X=5) = \binom{5}{5} (0.4)^5 (0.6)^0 = 0.01024 )
Суммируем:
[
P(X \geq 3) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744
]
Ответ: ( P(X \geq 3) \approx 0.3174 ).
2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?
Ищем ( P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) ), где ( n = 4 ) и ( p = 0.9 ).
- ( P(X=3) = \binom{4}{3} (0.9)^3 (0.1)^1 = 4 \cdot 0.729 \cdot 0.1 = 0.2916 )
- ( P(X=4) = \binom{4}{4} (0.9)^4 (0.1)^0 = 0.6561 )
Суммируем:
[
P(X \geq 3) = 0.2916 + 0.6561 = 0.9477
]
Ответ: ( P(X \geq 3) \approx 0.9477 ).
3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз.
Для точных значений используем нормальное приближение, так как ( n ) велико. Сначала найдем математическое ожидание и стандартное отклонение:
[
\mu = np = 700 \times 0.35 = 245
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{700 \times 0.35 \times 0.65} \approx 12.18
]
Теперь находим ( P(X = 270) ) и используем нормальное распределение для приближенных значений:
- Для ( P(X < 270) ), мы можем использовать z-показатель:
[
z = \frac{270 - 245}{12.18} \approx 2.05
]
Посмотрим по таблице Z:
[
z = \frac{230 - 245}{12.18} \approx -1.23
]
Ищем:
- ( P(Z < -1.23) \approx 0.1093 ) → тогда ( P(Z > 230) \approx 1 - 0.1093 = 0.8907 )
Итак,
- ( P(X < 270) \approx P(X < 270) - P(X < 230) )
Вся вероятность будет:
[
P(230 < X < 270) = P(X < 270) - P(X < 230) \approx 0.9798 - 0.1093 = 0.8705
]
Но для точного вычисления значений лучше использовать статистические программы для биномиального распределения.
Ответы:
- ( P(X = 270) ) можно найти через биномиальную формулу, но сложно рассчитать вручную.
- ( P(X < 270) \approx 0.8705 )
- ( P(230 < X < 270) )
4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее трех раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4.
Решение аналогично задаче 1:
[
P(X \geq 3) \approx 0.31744
]
5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.
Сначала вычисляем:
[
P(X = 100) = \binom{300}{100} (0.6)^{100} (0.4)^{200}
]
Вычесления так же лучше делать с помощью статистических программ или калькулятора, так как значения биномиальных коэффициентов могут быть очень велики и требуют использования подхода, подобного нормальному приближению.
Для более приблизительного результата:
[
\mu = 300 \times 0.6 = 180
]
[
\sigma = \sqrt{300 \times 0.6 \times 0.4} \approx 6.9282
]
Используем z-показатель:
[
P(X = 100) \approx P(99.5 < X < 100.5) \approx \text{NormCDF} \text{ для соответствующего z}
]
Это также требует вычислений, и точное значение обычно ищется через программное обеспечение.
Ответ: Оценить вероятность можно только с помощью программного обеспечения.
