Для определения высоты цилиндрической банки без крышки, сначала нужно выяснить составные части площади ее поверхности.
Площадь поверхности открытой цилиндрической банки равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Формула для площади боковой поверхности цилиндра:
[
S_{\text{бок}} = 2\pi rh
]
где ( r ) — радиус основания, ( h ) — высота цилиндра.
Площадь основания:
[
S_{\text{осн}} = \pi r^2
]
Таким образом, общая площадь поверхности открытой банки выглядит следующим образом:
[
S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 2\pi rh + \pi r^2
]
В данном случае известно, что:
- Общая площадь ( S = 1 , \text{м}^2 )
- Радиус основания ( r = 0,25 , \text{м} )
Подставим радиус в формулу:
[
1 = 2\pi(0.25)h + \pi(0.25)^2
]
Посчитаем ( \pi(0.25)^2 ):
[
\pi(0.25)^2 = \pi(0.0625) = 0.0625\pi
]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
[
1 = 2\pi(0.25)h + 0.0625\pi
]
Упростим:
[
1 = 0.5\pi h + 0.0625\pi
]
Вынесем ( \pi ) за скобки:
[
1 = \pi(0.5h + 0.0625)
]
Теперь разделим обе стороны на ( \pi ):
[
\frac{1}{\pi} = 0.5h + 0.0625
]
Решим это уравнение относительно ( h ):
[
0.5h = \frac{1}{\pi} - 0.0625
]
[
h = 2\left(\frac{1}{\pi} - 0.0625\right)
]
Теперь подставим значение ( \pi \approx 3.14 ):
[
h = 2\left(\frac{1}{3.14} - 0.0625\right)
]
Вычислим ( \frac{1}{3.14} ):
[
\frac{1}{3.14} \approx 0.3185
]
Теперь подставим в уравнение:
[
h \approx 2(0.3185 - 0.0625) = 2(0.2560) \approx 0.512
]
Таким образом, высота банки:
[
h \approx 0.51 , \text{м}
]
С точностью до 0.01 м высота банки составляет 0.51 м.
