Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 AD=10 CD=6 CC1=8 Найди площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки A,D,B1

Для нахождения площади сечения параллелепипеда, проходящего через точки \( A, D, B_1 \), сначала определим координаты этих точек в пространстве.

Пусть точки расположены следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( D(0, 10, 0) \)
• \( B_1(6, 10, 8) \)

Теперь найдем векторы, определяющие сторону сечения:

• Вектор \( \vec{AD} \): \[ \vec{AD} = D - A = (0, 10, 0) - (0, 0, 0) = (0, 10, 0) \]

• Вектор \( \vec{AB_1} \): \[ \vec{AB_1} = B_1 - A = (6, 10, 8) - (0, 0, 0) = (6, 10, 8) \]

Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить вектор нормали к плоскости, проходящей через точки \( A, D, B_1 \):

\[ \vec{AD} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 10 & 0 \\ 6 & 10 & 8 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ = \hat{i} (10 \cdot 8 - 0 \cdot 10) - \hat{j} (0 \cdot 8 - 0 \cdot 6) + \hat{k} (0 \cdot 10 - 10 \cdot 6) \] \[ = \hat{i} (80) - \hat{j} (0) + \hat{k} (-60) \] \[ = (80, 0, -60) \]

Теперь найдем длину вектора нормали: \[ |\vec{N}| = \sqrt{80^2 + 0^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \]

Для нахождения площади треугольника \( ADB_1 \) воспользуемся формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB_1}| \cdot \sin(\theta) \] где \( |\vec{AD}| = 10 \) (длина отрезка \( AD \)), \( |\vec{AB_1}| = \sqrt{6^2 + 10^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 100 + 64} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \), а угол \( \theta \) между векторами можно найти из векторного произведения:

\(\sin(\theta) = \frac{|\vec{AD} \times \vec{AB_1}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB_1}|}\).

Вычислим площадь: \[ |\vec{AD} \times \vec{AB_1}| = 100, \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB_1}| \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{100}{10 \cdot 10\sqrt{2}} = 50. \]

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки \( A, D, B_1 \), равна 50.