Для нахождения площади сечения параллелепипеда, проходящего через точки ( A, D, B_1 ), сначала определим координаты этих точек в пространстве.
Пусть точки расположены следующим образом:
- ( A(0, 0, 0) )
- ( D(0, 10, 0) )
- ( B_1(6, 10, 8) )
Теперь найдем векторы, определяющие сторону сечения:
Вектор ( \vec{AD} ):
[
\vec{AD} = D - A = (0, 10, 0) - (0, 0, 0) = (0, 10, 0)
]
Вектор ( \vec{AB_1} ):
[
\vec{AB_1} = B_1 - A = (6, 10, 8) - (0, 0, 0) = (6, 10, 8)
]
Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить вектор нормали к плоскости, проходящей через точки ( A, D, B_1 ):
[
\vec{AD} \times \vec{AB_1} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
0 & 10 & 0 \
6 & 10 & 8
\end{vmatrix}
]
Вычислим определитель:
[
= \hat{i} (10 \cdot 8 - 0 \cdot 10) - \hat{j} (0 \cdot 8 - 0 \cdot 6) + \hat{k} (0 \cdot 10 - 10 \cdot 6)
]
[
= \hat{i} (80) - \hat{j} (0) + \hat{k} (-60)
]
[
= (80, 0, -60)
]
Теперь найдем длину вектора нормали:
[
|\vec{N}| = \sqrt{80^2 + 0^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100
]
Для нахождения площади треугольника ( ADB_1 ) воспользуемся формулой:
[
S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB_1}| \cdot \sin(\theta)
]
где ( |\vec{AD}| = 10 ) (длина отрезка ( AD )), ( |\vec{AB_1}| = \sqrt{6^2 + 10^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 100 + 64} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} ), а угол ( \theta ) между векторами можно найти из векторного произведения:
(\sin(\theta) = \frac{|\vec{AD} \times \vec{AB_1}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB_1}|}).
Вычислим площадь:
[
|\vec{AD} \times \vec{AB_1}| = 100,
]
[
S = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB_1}| \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{100}{10 \cdot 10\sqrt{2}} = 50.
]
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки ( A, D, B_1 ), равна 50.
