Обозначим время, необходимое первому комбайнеру для очистки поля, как ( x ) часов. Тогда время, необходимое второму комбайнеру, будет ( x + 24 ) часов.
Работа первого комбайнера за час составит ( \frac{1}{x} ) поля, а второго - ( \frac{1}{x + 24} ) поля. Работая вместе, они очищают поле за 35 часов, значит их совместная работа в часах будет равна:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 24} = \frac{1}{35}.
]
Умножим обе части уравнения на ( 35x(x + 24) ):
[
35(x + 24) + 35x = x(x + 24).
]
Раскроем скобки:
[
35x + 840 + 35x = x^2 + 24x.
]
Соберем все термины в одну сторону:
[
70x + 840 - x^2 - 24x = 0.
]
Упрощаем уравнение:
[
-x^2 + 46x + 840 = 0.
]
Умножаем на -1:
[
x^2 - 46x - 840 = 0.
]
Теперь можно воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 1, b = -46, c = -840 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476.
]
Найдём корень из дискриминанта:
[
\sqrt{5476} = 74.
]
Теперь применим формулу:
[
x = \frac{46 \pm 74}{2}.
]
Вычислим два корня:
- ( x_1 = \frac{120}{2} = 60 );
- ( x_2 = \frac{-28}{2} = -14 ) (отрицательное значение не имеет смысла).
Таким образом, первый комбайнер очищает поле за 60 часов.
Время, необходимое второму комбайнеру:
[
x + 24 = 60 + 24 = 84 \text{ часа}.
]
Ответ: первому комбайнеру требуется 60 часов, второму – 84 часа.
