один комбайнер очищает все поле на 24 часа быстрее чем второй. работая вместе они очищают поле за 35 часов. сколько требуется времени на очистку поля каждому комбайнеру
Обозначим время, необходимое первому комбайнеру для очистки поля, как \( x \) часов. Тогда время, необходимое второму комбайнеру, будет \( x + 24 \) часов.
Работа первого комбайнера за час составит \( \frac{1}{x} \) поля, а второго - \( \frac{1}{x + 24} \) поля. Работая вместе, они очищают поле за 35 часов, значит их совместная работа в часах будет равна:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 24} = \frac{1}{35}. \]
Умножим обе части уравнения на \( 35x(x + 24) \):
\[ 35(x + 24) + 35x = x(x + 24). \]
Раскроем скобки:
\[ 35x + 840 + 35x = x^2 + 24x. \]
Соберем все термины в одну сторону:
\[ 70x + 840 - x^2 - 24x = 0. \]
Упрощаем уравнение:
\[ -x^2 + 46x + 840 = 0. \]
Умножаем на -1:
\[ x^2 - 46x - 840 = 0. \]
Теперь можно воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = -46, c = -840 \).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476. \]
Найдём корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{5476} = 74. \]
Теперь применим формулу:
\[ x = \frac{46 \pm 74}{2}. \]
Вычислим два корня:
- \( x_1 = \frac{120}{2} = 60 \);
- \( x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \) (отрицательное значение не имеет смысла).
Таким образом, первый комбайнер очищает поле за 60 часов.
Время, необходимое второму комбайнеру:
\[ x + 24 = 60 + 24 = 84 \text{ часа}. \]
Ответ: первому комбайнеру требуется 60 часов, второму – 84 часа.
