Чтобы найти среднюю скорость материальной точки за промежуток времени от (t_0) до (t_0 + \Delta t), мы можем использовать формулу:
[
v_{ср} = \frac{S(t_0 + \Delta t) - S(t_0)}{\Delta t}
]
где (S(t)) — функция пути.
Дано:
- (S(t) = 2 - 2t - 4t^2)
- (t_0 = 3)
- (\Delta t = 0.1)
Сначала вычислим (S(t_0)) и (S(t_0 + \Delta t)):
- Найдем (S(3)):
[
S(3) = 2 - 2 \cdot 3 - 4 \cdot 3^2 = 2 - 6 - 36 = -40
]
- Найдем (S(3 + 0.1) = S(3.1)):
[
S(3.1) = 2 - 2 \cdot 3.1 - 4 \cdot (3.1)^2
]
Сначала вычислим ( (3.1)^2 ):
[
(3.1)^2 = 9.61
]
Теперь подставим:
[
S(3.1) = 2 - 6.2 - 4 \cdot 9.61 = 2 - 6.2 - 38.44 = 2 - 6.2 - 38.44 = -42.64
]
Теперь подставим (S(3)) и (S(3.1)) в формулу для средней скорости:
[
v_{ср} = \frac{-42.64 - (-40)}{0.1} = \frac{-42.64 + 40}{0.1} = \frac{-2.64}{0.1} = -26.4 , \text{м/с}
]
Теперь найдем скорость в конце секунды (t_0), используя производную (S(t)):
[
v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 2t - 4t^2)
]
Производная:
[
v(t) = -2 - 8t
]
Теперь подставим (t_0 = 3):
[
v(3) = -2 - 8 \cdot 3 = -2 - 24 = -26 , \text{м/с}
]
Итак, результаты:
- Средняя скорость за промежуток времени от (t_0) до (t_0 + \Delta t) равна (-26.4 , \text{м/с}).
- Скорость в конце секунды (t_0) составляет (-26 , \text{м/с}).
