Докажите,что площадь,параллелограмма,равна произведеню, двухего смежных сторон на синус угла между ними
Чтобы доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними, рассмотрим параллелограмм ABCD, где стороны AB и AD являются смежными. Обозначим длины сторон AB и AD как \( a \) и \( b \) соответственно, а угол между ними как \( \theta \).
Определим координаты вершин: Пусть точка A расположена в начале координат (0, 0). Тогда:
- Точка B будет на координатах \( (a, 0) \) (так как длина AB равна \( a \)).
- Точка D будет на координатах \( (0, b) \) (так как длина AD равна \( b \)).
- Точка C, как вершина, противолежащая A, находится на координатах \( (a \cos \theta, b \sin \theta) \).
Сформируем треугольник: Для нахождения площади параллелограмма ABCD удобно рассмотреть треугольник ABD. Площадь этого треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]
Умножим на 2: Площадь параллелограмма ABCD равна двойной площади треугольника ABD: \[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta = a \cdot b \cdot \sin \theta \]
Таким образом, мы доказали, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними: \[ S = a \cdot b \cdot \sin \theta \]
