В этом случае мы можем использовать понятие вероятности для события, которое происходит в ряде независимых испытаний. Поскольку монета симметричная, вероятность того, что при каждом броске выпадет орел (О), составляет ( p = \frac{1}{2} ), а вероятность того, что выпадет решка (Р), также составляет ( q = \frac{1}{2} ).
Мы хотим найти вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза при трех бросках. Это событие обозначается как ( (О, О, О) ).
Обозначим количество бросков как ( n = 3 ) и количество успехов (выпадение орла) как ( k = 3 ). Для вычисления вероятности используем формулу биномиального распределения:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
Где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность успеха (выпадение орла),
- ( q = \frac{1}{2} ) — вероятность неуспеха (выпадение решки).
Теперь подставим наши значения:
- Находим биномиальный коэффициент:
[
\binom{3}{3} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1
]
- Подставляем ( p ), ( q ), ( n ) и ( k ):
[
P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
]
Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза, составляет ( \frac{1}{8} ).
