В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.
В этом случае мы можем использовать понятие вероятности для события, которое происходит в ряде независимых испытаний. Поскольку монета симметричная, вероятность того, что при каждом броске выпадет орел (О), составляет \( p = \frac{1}{2} \), а вероятность того, что выпадет решка (Р), также составляет \( q = \frac{1}{2} \).
Мы хотим найти вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза при трех бросках. Это событие обозначается как \( (О, О, О) \).
Обозначим количество бросков как \( n = 3 \) и количество успехов (выпадение орла) как \( k = 3 \). Для вычисления вероятности используем формулу биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
Где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность успеха (выпадение орла),
- \( q = \frac{1}{2} \) — вероятность неуспеха (выпадение решки).
Теперь подставим наши значения:
- Находим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{3}{3} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1 \]
- Подставляем \( p \), \( q \), \( n \) и \( k \):
\[ P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза, составляет \( \frac{1}{8} \).
