Радиус сферы равен 61 см. На таком же расстоянии 61 см от сферы находится светящаяся точка. Определи, какую часть поверхности сферы она освещает Как ответ зависит от длины радиуса?

Чтобы определить, какую часть поверхности сферы освещает светящаяся точка, находящаяся на расстоянии 61 см от сферы, начнем с понимания геометрической ситуации.

Сфера имеет радиус \( R = 61 \) см. Светящаяся точка находится на расстоянии \( d = 61 \) см от поверхности сферы, или на расстоянии от центра сферы \( D = R + d = 61 + 61 = 122 \) см.

Мы можем рассмотреть это как задачу о светящемся источнике, находящемся на поверхности воображемой сферы радиуса \( D \). Плоскость, проходящая через светящуюся точку и перпендикулярная к радиусу, будет делить поверхность сферы на две части. Если светящаяся точка достаточно удалена, то освещенная область будет равняться определенному углу, который соответствует полусфере.

Определим угол \( \theta \), под которым светящаяся точка "видит" поверхность сферы:

\[ \cos \theta = \frac{R}{D} = \frac{61}{122} = 0.5 \]

Следовательно, угол \( \theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ \).

Площадь освещенной области на сфере равна площади сегмента сферы. Площадь всей поверхности сферы можно найти по формуле:

\[ S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (61)^2 \]

Площадь сегмента, освещенная светящейся точкой, может быть рассчитана как одна вторая от площади поверхности сферы, потому что \( \theta \) равен 60 градусам, а значит, светящаяся точка охватывает угол в 120 градусов.

Таким образом, освещенная часть поверхности сферы выражается как:

\[ \text{Площадь освещенной части} = \frac{120}{360} \times S = \frac{1}{3} \times 4 \pi (61)^2 \]

Теперь завершим, как эта часть зависит от радиуса сферы \( R \):

Если \( R \) — радиус сферы, и \( D = R + R = 2R \), тогда

\[ \cos \theta = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \rightarrow \theta = 60^\circ. \]

Следовательно, светящаяся точка будет освещать \(\frac{1}{3}\) поверхности сферы независимо от значения радиуса \( R \).

Итак, ответ: светящаяся точка освещает \(\frac{1}{3}\) поверхности сферы, и эта доля не зависит от величины радиуса.