Чтобы определить, какую часть поверхности сферы освещает светящаяся точка, находящаяся на расстоянии 61 см от сферы, начнем с понимания геометрической ситуации.
Сфера имеет радиус ( R = 61 ) см. Светящаяся точка находится на расстоянии ( d = 61 ) см от поверхности сферы, или на расстоянии от центра сферы ( D = R + d = 61 + 61 = 122 ) см.
Мы можем рассмотреть это как задачу о светящемся источнике, находящемся на поверхности воображемой сферы радиуса ( D ). Плоскость, проходящая через светящуюся точку и перпендикулярная к радиусу, будет делить поверхность сферы на две части. Если светящаяся точка достаточно удалена, то освещенная область будет равняться определенному углу, который соответствует полусфере.
Определим угол ( \theta ), под которым светящаяся точка "видит" поверхность сферы:
[
\cos \theta = \frac{R}{D} = \frac{61}{122} = 0.5
]
Следовательно, угол ( \theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ ).
Площадь освещенной области на сфере равна площади сегмента сферы. Площадь всей поверхности сферы можно найти по формуле:
[
S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (61)^2
]
Площадь сегмента, освещенная светящейся точкой, может быть рассчитана как одна вторая от площади поверхности сферы, потому что ( \theta ) равен 60 градусам, а значит, светящаяся точка охватывает угол в 120 градусов.
Таким образом, освещенная часть поверхности сферы выражается как:
[
\text{Площадь освещенной части} = \frac{120}{360} \times S = \frac{1}{3} \times 4 \pi (61)^2
]
Теперь завершим, как эта часть зависит от радиуса сферы ( R ):
Если ( R ) — радиус сферы, и ( D = R + R = 2R ), тогда
[
\cos \theta = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \rightarrow \theta = 60^\circ.
]
Следовательно, светящаяся точка будет освещать (\frac{1}{3}) поверхности сферы независимо от значения радиуса ( R ).
Итак, ответ: светящаяся точка освещает (\frac{1}{3}) поверхности сферы, и эта доля не зависит от величины радиуса.
