Давайте обозначим угол ( \angle ABM = \angle CKB = x ).
Согласно условию, так как ( AB = AC ) (треугольник ( ABC ) равнобедренный), то углы при основании равны, то есть ( \angle ABC = \angle ACB ).
Также из условия видно, что:
[
\angle ACB = \angle CKB + \angle BCK
]
что можно записать как:
[
\angle ACB = x + \angle BCK
]
С учетом равенства углов, имеем:
[
\angle ABC = \angle ACB
]
что означает, что:
[
\angle ABC = x + \angle BCK
]
Так как ( \angle ABC = \angle ACB ), откуда следует, что:
[
\angle ABC = x + (y) \quad \text{и} \quad \angle ACB = x + (y),
]
где ( y = \angle BCK ).
Теперь рассмотрим треугольники ( ABM ) и ( CKB ). Угол ( AMB ) равен углу ( CKB ) по условию, то есть:
[
\angle AMB = \angle CKB
]
Так как в обоих треугольниках мы имеем по два равных угла:
- ( \angle ABM = \angle CKB = x )
- ( \angle AMB ) и ( \angle CKB ) равны.
Таким образом, по критерию равенства треугольников (по двум углам и стороне), треугольники ( ABM ) и ( CKB ) равны.
Следовательно, ( AB = CK ), а так как ( AM = AB ) и ( SK = CK ), то:
[
AM = SK
]
Таким образом, мы доказали требуемое равенство. ( AM = CK ).
