Чтобы решить уравнение ( 9x^4 - 10x^2 + 1 = 0 ), мы можем сделать замену переменной. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[ 9y^2 - 10y + 1 = 0. ]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется как:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где ( a = 9 ), ( b = -10 ), ( c = 1 ).
Подставим значения:
[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64.
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 \pm 8}{18}.
]
Таким образом, у нас есть два корня:
- [ y_1 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1, ]
- [ y_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}. ]
Теперь вспомним, что ( y = x^2 ). Следовательно, у нас есть:
- ( x^2 = 1 ) ( \Rightarrow x = 1 ) или ( x = -1 ),
- ( x^2 = \frac{1}{9} ) ( \Rightarrow x = \frac{1}{3} ) или ( x = -\frac{1}{3} ).
Таким образом, все корни уравнения ( 9x^4 - 10x^2 + 1 = 0 ) равны:
[
x = 1, \quad x = -1, \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -\frac{1}{3}.
]
