Решите неравенство 2х^2-х-1<=0

Чтобы решить неравенство \( 2x^2 - x - 1 \leq 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \). Используем формулу нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 2 \), \( b = -1 \) и \( c = -1 \). Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] Теперь, у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{2} \). Определим интервалы, на которых функция \( 2x^2 - x - 1 \) принимает значения, менее или равные нулю. Проверим знаки на интервалах: 1. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) 2. \( (-\frac{1}{2}, 1) \) 3. \( (1, +\infty) \) Выберем тестовые значения из каждого интервала: 1. Пусть \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0 \) 2. Пусть \( x = 0 \): \( 2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0 \) 3. Пусть \( x = 2 \): \( 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \) Теперь составим итог: - На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) функция положительна. - На интервале \( (-\frac{1}{2}, 1) \) функция отрицательна (или равна нулю на границах). - На интервале \( (1, +\infty) \) функция положительна. Неравенство \( 2x^2 - x - 1 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-\frac{1}{2}, 1] \). Итак, ответ: \[ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] \]