Решите неравенство 2х^2-х-1<=0
Чтобы решить неравенство \( 2x^2 - x - 1 \leq 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \).
Используем формулу нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 2 \), \( b = -1 \) и \( c = -1 \).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Теперь, у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{2} \).
Определим интервалы, на которых функция \( 2x^2 - x - 1 \) принимает значения, менее или равные нулю. Проверим знаки на интервалах:
- \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Выберем тестовые значения из каждого интервала:
- Пусть \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0 \)
- Пусть \( x = 0 \): \( 2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0 \)
- Пусть \( x = 2 \): \( 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \)
Теперь составим итог:
- На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) функция положительна.
- На интервале \( (-\frac{1}{2}, 1) \) функция отрицательна (или равна нулю на границах).
- На интервале \( (1, +\infty) \) функция положительна.
Неравенство \( 2x^2 - x - 1 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-\frac{1}{2}, 1] \).
Итак, ответ:
\[ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right] \]
