Проверочная работа «Круги Эйлера и схема состава» 2 вариант 1. Группа туристов отправляется в путешествие по странам Европы. Известно, что 4 из них одновременно владеют английским…

Решим каждую задачу по очереди.

Задача 1

Условия:

• 4 туриста владеют и английским, и немецким языком.
• 15 туристов говорят по-английски.
• 10 туристов говорят по-немецки.

Обозначим:

• \( A \) — количество туристов, говорящих по-английски (15).
• \( B \) — количество туристов, говорящих по-немецки (10).
• \( A \cap B \) — количество туристов, говорящих и по-английски, и по-немецки (4).
• \( n \) — общее количество туристов в группе.

По формуле включения-исключения: \[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

Подставляем известные значения: \[ n(A \cup B) = 15 + 10 - 4 = 21 \]

Таким образом, в группе было 21 турист.

---

Задача 2

Условия:

• Всего участников — 50.
• Первую задачу решило 25 человек.
• Вторую задачу — 24 человека.
• Третью задачу — 21 человек.
• Первую и вторую — 9 человек.
• Вторую и третью — 10 человек.
• Первую и третью — 12 человек.
• Все три задачи — 8 человек.

Обозначим:

• \( A_1 \) — количество решивших первую задачу.
• \( A_2 \) — количество решивших вторую задачу.
• \( A_3 \) — количество решивших третью задачу.

Используем формулу включения-исключения: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \]

Подставим известные данные: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 25 + 24 + 21 - 9 - 12 - 10 + 8 \]

Посчитаем: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 25 + 24 + 21 - 9 - 12 - 10 + 8 = 47 \]

Количество участников, не решивших ни одной задачи: \[ 50 - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 50 - 47 = 3 \]

Таким образом, 3 участника не решили ни одной задачи.

---

Задача 3

Условия:

• Два зала по 30 мест, всего 60 мест.
• 48 школьников из 7-8 классов.
• 8 мальчиков из 7 класса смотрят комедию.
• 10 девочек смотрят комедию.
• Ни одна семиклассница не посмотрела фантастику.
• 25 восьмиклассников, из которых 15 не смотрели комедию (значит, 10 смотрели комедию).
• Среди зрителей фантастики — 3 девочки и 25 мальчиков.

Обозначим:

• \( K \) — комедия.
• \( F \) — фантастика.
• \( S_7 \) — семиклассников.
• \( S_8 \) — восьмиклассников.

Известно, что:

• Всего школьников: \( 48 = S_7 + S_8 \)
• Восьмиклассников: \( S_8 = 25 \)
• Семиклассников: \( S_7 = 48 - 25 = 23 \)

Теперь подсчитаем, сколько семиклассников и восьмиклассников смотрят комедию:

• Семиклассники: 8 мальчиков и 0 девочек смотрят комедию.
• Восьмиклассники, смотрящие комедию: \( 10 \) (всех восьмиклассников 25, из них 15 не смотрели комедию).

Для комедии:

• Мальчики (7 класс): 8.
• Девочки (7 класс): 0.
• Восьмиклассники: 10.

Всего, кто смотрит комедию: \( 8 + 10 = 18 \).

Теперь считаем, кто смотрит фантастику:

• У нас всего 48 школьников, из которых 18 смотрят комедию, значит, число зрителей фантастики: \[ 48 - 18 = 30 \]

Среди зрителей фантастики:

• Девочки: 3.
• Мальчики: 25.

У нас есть:

• Всего мальчиков на фантастике: 25 (восемьклассники) + 25 (из 7 класса).
• Девочки на фантастике = 3.

Подсчитываем:

• Комедия: 18.
• Фантастика: 30.

Итог:

• Комедия: 8 мальчиков 7 класса + 10 восьмиклассников (всего 18).
• Фантастика: 25 мальчиков (8 класс) + 3 девочки (7 и 8 классы) (всего 30).

Таким образом, комедию смотрят 18 человек, фантастику 30.