Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь основания цилиндра равна 64 см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимы радиус основания и высота цилиндра. Учитывая, что осевое сечение цилиндра является квадратом, это значит, что диаметр основания цилиндра равен высоте.
Сначала найдем радиус основания цилиндра. Площадь основания \( S \) цилиндра равна 64 см², и основание цилиндра является кругом. Формула площади круга: \[ S = \pi r^2, \] где \( r \) — радиус.
Из этого уравнения можно выразить радиус:
\[ r^2 = \frac{S}{\pi}. \]
Подставим значение площади: \[ r^2 = \frac{64}{\pi}. \]
Следовательно, \[ r = \sqrt{\frac{64}{\pi}} = \frac{8}{\sqrt{\pi}}. \]
Теперь найдем высоту цилиндра. Поскольку осевое сечение является квадратом и его стороны равны диаметров основания ( \( d = 2r \) ), мы имеем: \[ h = d = 2r = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} = \frac{16}{\sqrt{\pi}}. \]
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Формула для полной поверхности \( S_p \) цилиндра: \[ S_p = 2S + C, \] где \( S \) — площадь основания, а \( C \) — площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[ C = 2\pi r h. \]
Подставляем известные значения радиуса и высоты: \[ C = 2\pi \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{16}{\sqrt{\pi}} = \frac{256\pi}{\pi} = 256. \]
- Площадь полной поверхности: \[ S_p = 2S + C = 2 \cdot 64 + 256 = 128 + 256 = 384 \, \text{см}^2. \]
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна 384 см².
