Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь основания цилиндра равна 64 см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимы радиус основания и высота цилиндра. Учитывая, что осевое сечение цилиндра является квадратом, это значит, что диаметр основания цилиндра равен высоте. 1. Сначала найдем радиус основания цилиндра. Площадь основания \( S \) цилиндра равна 64 см², и основание цилиндра является кругом. Формула площади круга: \[ S = \pi r^2, \] где \( r \) — радиус. Из этого уравнения можно выразить радиус: \[ r^2 = \frac{S}{\pi}. \] Подставим значение площади: \[ r^2 = \frac{64}{\pi}. \] Следовательно, \[ r = \sqrt{\frac{64}{\pi}} = \frac{8}{\sqrt{\pi}}. \] 2. Теперь найдем высоту цилиндра. Поскольку осевое сечение является квадратом и его стороны равны диаметров основания ( \( d = 2r \) ), мы имеем: \[ h = d = 2r = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} = \frac{16}{\sqrt{\pi}}. \] 3. Теперь мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Формула для полной поверхности \( S_p \) цилиндра: \[ S_p = 2S + C, \] где \( S \) — площадь основания, а \( C \) — площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ C = 2\pi r h. \] Подставляем известные значения радиуса и высоты: \[ C = 2\pi \cdot \frac{8}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{16}{\sqrt{\pi}} = \frac{256\pi}{\pi} = 256. \] 4. Площадь полной поверхности: \[ S_p = 2S + C = 2 \cdot 64 + 256 = 128 + 256 = 384 \, \text{см}^2. \] Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна 384 см².