Найдите наименьшее значение функции f(x)= x/ x2+1, [0;2]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) на интервале \( [0; 2] \), сначала нужно найти производную функции и определить критические точки.
Найдем производную \( f'(x) \): \[ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \] Используем правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \]
Найдем критические точки: Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{в пределах } [0, 2]) \]
Теперь проверим значения функции на концах интервала и в критической точке: \[ f(0) = \frac{0}{0^2 + 1} = 0 \] \[ f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \] \[ f(2) = \frac{2}{2^2 + 1} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5} \]
Сравним значения:
- \( f(0) = 0 \)
- \( f(1) = \frac{1}{2} = 0.5 \)
- \( f(2) = \frac{2}{5} = 0.4 \)
Наименьшее значение функции на интервале \( [0; 2] \) равно \( f(0) = 0 \).
Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на интервале \( [0; 2] \) равно 0.
