Найдите наименьшее значение функции f(x)= x/ x2+1, [0;2]

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) на интервале \( [0; 2] \), сначала нужно найти производную функции и определить критические точки. 1. **Найдем производную \( f'(x) \)**: \[ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \] Используем правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] 2. **Найдем критические точки**: Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{в пределах } [0, 2]) \] 3. **Теперь проверим значения функции на концах интервала и в критической точке**: \[ f(0) = \frac{0}{0^2 + 1} = 0 \] \[ f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \] \[ f(2) = \frac{2}{2^2 + 1} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5} \] 4. **Сравним значения**: - \( f(0) = 0 \) - \( f(1) = \frac{1}{2} = 0.5 \) - \( f(2) = \frac{2}{5} = 0.4 \) Наименьшее значение функции на интервале \( [0; 2] \) равно \( f(0) = 0 \). Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на интервале \( [0; 2] \) равно **0**.