свойства функции графика (1-х)³+1
Функция \( f(x) = (1 - x)^3 + 1 \) является кубической функцией. Чтобы изучить ее свойства, рассмотрим следующие аспекты:
Область определения: Область определения данной функции — это все действительные числа (\( \mathbb{R} \)).
Нули функции: Найдем нули функции, решив уравнение: \[ (1 - x)^3 + 1 = 0 \] Это уравнение можно переписать как: \[ (1 - x)^3 = -1 \implies 1 - x = -1 \implies x = 2 \] Таким образом, ноль функции — это \( x = 2 \).
Проверка на четность/нечетность: Для проверки четности и нечетности вычислим \( f(-x) \): \[ f(-x) = (1 - (-x))^3 + 1 = (1 + x)^3 + 1 \] Это не равно ни \( f(x) \) (функция нечетная) и не равно \( -f(x) \) (функция нечетная). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Монотонность: Найдем производную функции: \[ f'(x) = -3(1 - x)^2 \] Так как \( (1 - x)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), то \( f'(x) \leq 0 \). Это говорит о том, что функция убывает на всей области определения.
Экстремумы: Поскольку производная не меняет знак и функция монотонно убывает, у нее нет экстремумов.
Постоянные точки: Значения функции \( f(x) \) в разных точках:
- \( f(0) = (1 - 0)^3 + 1 = 1 + 1 = 2 \)
- \( f(1) = (1 - 1)^3 + 1 = 0 + 1 = 1 \)
- \( f(2) = (1 - 2)^3 + 1 = -1 + 1 = 0 \)
- \( f(3) = (1 - 3)^3 + 1 = -8 + 1 = -7 \)
График: График функции представляет собой кубическую кривую, которая проходит через точку (2, 0) и убывает с увеличением \( x \).
Ассимптоты: У данной функции нет асимптот, так как это полином.
Таким образом, основными свойствами функции \( f(x) = (1 - x)^3 + 1 \) являются: область определения — все действительные числа, монотонное убывание, повышение от 0 до 1 и далее убывание с увеличением \( x \).
