Чтобы проанализировать функцию ( y = (1 - x)^3 + 1 ) по заданному плану, рассмотрим каждый пункт отдельно.
1. Общая область функции ( X \in \mathbb{R} )
Функция определена для всех действительных чисел, так как это многочлен.
2. ( y = 0 ) при
Решим уравнение:
[
(1 - x)^3 + 1 = 0
]
[
(1 - x)^3 = -1
]
[
1 - x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 2
]
Таким образом, ( y = 0 ) при ( x = 2 ).
3. ( y > 0 ) на
Функция ( y ) будет больше 0, если:
[
(1 - x)^3 + 1 > 0
]
[
(1 - x)^3 > -1
]
Это неравенство выполняется для всех ( x ), кроме ( x = 2 ). Таким образом:
[
y > 0 \quad \text{на} \quad (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)
]
( y < 0 ) на
Функция ( y ) равна 0 строго в точке ( x = 2 ), и, следовательно,:
[
y < 0 \quad \text{нет на} \quad \mathbb{R}
]
4. Экстремумы
Чтобы найти экстремумы, найдем производную:
[
y' = 3(1 - x)^2 \cdot (-1) = -3(1 - x)^2
]
Производная равна нулю, когда ( (1 - x)^2 = 0 ), то есть ( x = 1 ).
Проверим, является ли это точкой максимума или минимума, исследуя знак производной:
- ( y' > 0 ) на интервале ( (-\infty, 1) )
- ( y' < 0 ) на интервале ( (1, +\infty) )
Таким образом, в точке ( x = 1 ) находится максимум.
Чтобы найти значение функции в этой точке:
[
y(1) = (1 - 1)^3 + 1 = 1
]
Итак:
- Максимальные экстремумы: ( y ) достигает максимума 1 при ( x = 1 ).
- Минимальные экстрем
