Для решения задачи используем формулу для средне-квадратичной скорости молекул газа:
[
v = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}
]
где:
- ( v ) — средняя квадратичная скорость молекул,
- ( k ) — постоянная Больцмана,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная,
- ( T ) — абсолютная температура,
- ( m ) — масса одной молекулы,
- ( M ) — молярная масса газа.
Для молекул азота и кислорода мы можем записать:
[
v_{N_2} = \sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} \quad \text{и} \quad v_{O_2} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}}
]
где:
- ( T_1 ) — температура азота,
- ( M_1 = 28 , \text{г/моль} ) — молярная масса азота,
- ( T_2 = 448 , \text{K} ) — температура кислорода,
- ( M_2 = 32 , \text{г/моль} ) — молярная масса кислорода.
По условию задачи средняя квадратичная скорость молекул азота равна средней квадратичной скорости молекул кислорода:
[
\sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}}
]
Квадратируем обе стороны уравнения:
[
\frac{3RT_1}{M_1} = \frac{3RT_2}{M_2}
]
Сокращая ( 3R ) с обеих сторон, мы получаем:
[
\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}
]
Теперь выражаем ( T_1 ):
[
T_1 = T_2 \cdot \frac{M_1}{M_2}
]
Подставляем известные значения:
[
T_1 = 448 , \text{K} \cdot \frac{28}{32}
]
Теперь вычислим:
[
T_1 = 448 , \text{K} \cdot 0.875
]
[
T_1 = 392 , \text{K}
]
Таким образом, абсолютная температура ( T_1 ), при которой средняя квадратичная скорость молекул азота равна средней квадратичной скорости молекул кислорода при температуре ( T_2 = 448 , \text{K} ), составляет ( 392 , \text{K} ).
