1.в основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат со стороной √2 , а ребро CC1 равно √5. Найдите тангенс угла между прямой A1C и плоскостью A1B1C1. 2.в…

Давайте решим оба ваших задания по порядку.

1. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет основание квадратом со стороной \(\sqrt{2}\) и высоту \(CC1 = \sqrt{5}\).

   • Расставим координаты:

     • \(A(0, 0, 0)\)
     • \(B(\sqrt{2}, 0, 0)\)
     • \(C(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)\)
     • \(D(0, \sqrt{2}, 0)\)
     • \(A1(0, 0, \sqrt{5})\)
     • \(B1(\sqrt{2}, 0, \sqrt{5})\)
     • \(C1(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{5})\)
     • \(D1(0, \sqrt{2}, \sqrt{5})\)

   • Теперь найдём вектор \(A1C\): \[ A1C = C - A1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) - (0, 0, \sqrt{5}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{5}) \]

   • Найдём нормаль к плоскости \(A1B1C1\):

     • Вектора в плоскости: \(B1 - A1\) и \(C1 - A1\): \[ B1 - A1 = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{5}) - (0, 0, \sqrt{5}) = (\sqrt{2}, 0, 0) \] \[ C1 - A1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{5}) - (0, 0, \sqrt{5}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) \]

     • Векторное произведение (нормаль): \[ \mathbf{n} = (\sqrt{2}, 0, 0) \times (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) = (0, 0, 2) \]

   • Угол между вектором и нормалью плоскости определим с помощью скалярного произведения:

     • Нормализуем оба вектора:

     • \(|A1C| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{2 + 2 + 5} = \sqrt{9} = 3\)

     • Формулы угла: \[ \cos(\theta) = \frac{A1C \cdot \mathbf{n}}{|A1C|\ \cdot|\mathbf{n}|} \]

     • \(|\mathbf{n}| = 2\): \[ A1C \cdot \mathbf{n} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{5}) \cdot (0, 0, 2) = -2\sqrt{5} \]

   • Таким образом получаем: \[ \cos(\theta) = \frac{-2\sqrt{5}}{3\cdot 2} = \frac{-\sqrt{5}}{3} \]

   • Затем для тангенса: \[ \tan(\phi) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} / \cos(\theta) \]

   Поскольку это непростая комбинация, конечный ответ будет определять: \[ \tan(\phi) = \sqrt{(\frac{9-5}{9})/\frac{5}{9}} = \sqrt{4/5} \]

   Число \(\tan(\phi)\) будет равно \( \boxed{\frac{2}{\sqrt{5}}}\).

2. Рассмотрим треугольную призму с прямым углом A. Обозначим координаты:

   • \(A(0, 0, 0)\)

   • \(B(b, 0, 0)\) (где \(b < c\))

   • \(C(0, c, 0)\) (где \(c\) - высота)

   • Середина \(M\) находиться на средине \((B)\) и \(C\). \[ M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right) \]

   • Высота призмы \(AA1\):

     • \(A1(0, 0, \sqrt{2})\)

   • Вектор \(A1M\): \[ A1M = M - A1 = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right) - (0, 0, \sqrt{2}) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, -\sqrt{2}\right) \]

   • Угол между вектором \(A1M\) и плоскостью ABC можно оценить тоже с применением нормали.

   • Нормаль можно получить из \(B\) и \(C\), вычисляя их произведение. Но проще всего — найдём угол с нормалью плоскости.

   • Для этого можем применить аналогичные шаги как выше. Но упрощая:

   Конечная формула разложится на: \[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{(M_y \cdot A_z)^2 + (M_z \cdot B_y)^2}}{A_y \cdot B_z} \]

   • Окончательно: \[ \theta \approx \arctan(\frac{\sqrt{5}}{4}) \]

   Получаем отклонение нормали \(\phi \approx \sqrt{2}\).

   Поэтому ответ: \(\tan(\phi)\) между линией A1M и плоскостью ABC будет. \((\frac{1}{2})\) И это в конечном результате будет \( \tan(\alpha) =\frac{1}{2} = \boxed{1/2}\).