Последовательность (n) является геометрической прогрессией с отрицательным знаменателем. Известно, что b4 = 112, b8 = 7. Найдите b5.
Для решения задачи сначала воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия может быть записана в виде: \[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \] где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( r \) — знаменатель, и \( n \) — номер члена.
Дано:
- \( b_4 = b_1 \cdot r^3 = 112 \)
- \( b_8 = b_1 \cdot r^7 = 7 \)
Теперь мы имеем систему уравнений:
\( b_1 \cdot r^3 = 112 \) (1)
\( b_1 \cdot r^7 = 7 \) (2)
Теперь поделим (2) на (1): \[ \frac{b_1 \cdot r^7}{b_1 \cdot r^3} = \frac{7}{112} \] Сократив \( b_1 \) (если \( b_1 \neq 0 \)): \[ r^4 = \frac{7}{112} = \frac{1}{16} \]
Теперь найдём \( r \): \[ r = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{16^{-1}} = 16^{-1/4} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим значение \( r \) в одно из уравнений, например, в уравнение (1): \[ b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 112 \] \[ b_1 \cdot \frac{1}{8} = 112 \] \[ b_1 = 112 \cdot 8 = 896 \]
Теперь, зная \( b_1 \) и \( r \), можем найти \( b_5 \): \[ b_5 = b_1 \cdot r^4 = 896 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \] \[ b_5 = 896 \cdot \frac{1}{16} = 56 \]
Следовательно, значение \( b_5 \) составляет 56.
