Для решения задачи сначала воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия может быть записана в виде:
[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} ]
где ( b_1 ) — первый член прогрессии, ( r ) — знаменатель, и ( n ) — номер члена.
Дано:
- ( b_4 = b_1 \cdot r^3 = 112 )
- ( b_8 = b_1 \cdot r^7 = 7 )
Теперь мы имеем систему уравнений:
( b_1 \cdot r^3 = 112 ) (1)
( b_1 \cdot r^7 = 7 ) (2)
Теперь поделим (2) на (1):
[
\frac{b_1 \cdot r^7}{b_1 \cdot r^3} = \frac{7}{112}
]
Сократив ( b_1 ) (если ( b_1 \neq 0 )):
[
r^4 = \frac{7}{112} = \frac{1}{16}
]
Теперь найдём ( r ):
[
r = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{16^{-1}} = 16^{-1/4} = \frac{1}{2}
]
Теперь подставим значение ( r ) в одно из уравнений, например, в уравнение (1):
[
b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 112
]
[
b_1 \cdot \frac{1}{8} = 112
]
[
b_1 = 112 \cdot 8 = 896
]
Теперь, зная ( b_1 ) и ( r ), можем найти ( b_5 ):
[
b_5 = b_1 \cdot r^4 = 896 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4
]
[
b_5 = 896 \cdot \frac{1}{16} = 56
]
Следовательно, значение ( b_5 ) составляет 56.
