Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как формируется раскраска чисел от 1 до 9500 по описанному правилу.
Итак, у нас есть правило:
- Если сумма двух различных чисел (a) и (b) является простым числом, то (a) и (b) должны быть покрашены в разные цвета.
По условию, число 1 окрашено в красный цвет. Поскольку 1 является нечётным, любое другое нечётное число, сложенное с 1, будет чётным и, таким образом, их сумма (например, 1 + 3, 1 + 5) будет нечётным числом. Мы можем рассмотреть, какие ещё числа будут покрашены в красный цвет, анализируя суммы с числом 1.
Шаг 1: Определим, сколько чётных и нечётных чисел в диапазоне от 1 до 9500.
Нечётные числа: (1, 3, 5, \dots, 9499)
Такое последовательное число может быть получено по формуле общего члена арифметической прогрессии:
[ n = 1 + 2(k - 1) ]
Последний член (n) должен быть не больше 9499.
Для нахождения количества нечётных чисел в диапазоне:
[
2k - 1 \leq 9499 \implies 2k \leq 9500 \implies k \leq 4750
]
Таким образом, количество нечётных чисел (= 4750).
Чётные числа: (2, 4, 6, \dots, 9500)
Подробно:
[
2k \leq 9500 \implies k \leq 4750
]
То есть, количество чётных чисел также равняется 4750.
Шаг 2: Анализ раскраски.
Мы уже знаем, что число 1 красное. Теперь давайте посмотреть на числа 2 (чётное) и 1 (красное):
- (1 + 2 = 3) (простое), значит, 2 покрашено в синий.
Аналогично, любые другие чётные числа, при сложении с 1 (красное), создадут сумму, которая будет простым числом. Значит, все чётные числа (от 2 до 9500) будут синими.
Шаг 3: Подсчет.
Зная, что все чётные числа с 2 по 9500 окрашены в синий, их количество равно 4750 (как мы подсчитали ранее).
Таким образом, количество синих чисел среди натуральных чисел от 1 до 9500:
[
\boxed{4750}
]
