Все натуральные числа от 1 до 9500 покрашены в два цвета – красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух различных чисел a и b является простым числом, то a и b…

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как формируется раскраска чисел от 1 до 9500 по описанному правилу.

Итак, у нас есть правило:

• Если сумма двух различных чисел \(a\) и \(b\) является простым числом, то \(a\) и \(b\) должны быть покрашены в разные цвета.

По условию, число 1 окрашено в красный цвет. Поскольку 1 является нечётным, любое другое нечётное число, сложенное с 1, будет чётным и, таким образом, их сумма (например, 1 + 3, 1 + 5) будет нечётным числом. Мы можем рассмотреть, какие ещё числа будут покрашены в красный цвет, анализируя суммы с числом 1.

Шаг 1: Определим, сколько чётных и нечётных чисел в диапазоне от 1 до 9500.

• Нечётные числа: \(1, 3, 5, \dots, 9499\) Такое последовательное число может быть получено по формуле общего члена арифметической прогрессии: \[ n = 1 + 2(k - 1) \] Последний член \(n\) должен быть не больше 9499.

  Для нахождения количества нечётных чисел в диапазоне: \[ 2k - 1 \leq 9499 \implies 2k \leq 9500 \implies k \leq 4750 \] Таким образом, количество нечётных чисел \(= 4750\).

• Чётные числа: \(2, 4, 6, \dots, 9500\) Подробно: \[ 2k \leq 9500 \implies k \leq 4750 \] То есть, количество чётных чисел также равняется 4750.

Шаг 2: Анализ раскраски.

Мы уже знаем, что число 1 красное. Теперь давайте посмотреть на числа 2 (чётное) и 1 (красное):

• \(1 + 2 = 3\) (простое), значит, 2 покрашено в синий.

Аналогично, любые другие чётные числа, при сложении с 1 (красное), создадут сумму, которая будет простым числом. Значит, все чётные числа (от 2 до 9500) будут синими.

Шаг 3: Подсчет.

Зная, что все чётные числа с 2 по 9500 окрашены в синий, их количество равно 4750 (как мы подсчитали ранее).

Таким образом, количество синих чисел среди натуральных чисел от 1 до 9500:

\[ \boxed{4750} \]