Дан приведённый кубический многочлен P(x). Известно, что P(38)+P(41)=P(39)+P(40). Найдите удвоенную сумму всех корней P(x).
Дано, что \( P(38) + P(41) = P(39) + P(40) \). Запишем этот многочлен в общем виде:
\[ P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]
Подставляем значения в указанное равенство:
- \( P(38) = a(38^3) + b(38^2) + c(38) + d \)
- \( P(41) = a(41^3) + b(41^2) + c(41) + d \)
- \( P(39) = a(39^3) + b(39^2) + c(39) + d \)
- \( P(40) = a(40^3) + b(40^2) + c(40) + d \)
Теперь можем записать равенство:
\[ P(38) + P(41) - P(39) - P(40) = 0 \]
Обозначим \( S(x) = P(x) - P(x+1) \). Так, мы можем выразить \( S(x) \) как:
\[ S(x) = P(x) - P(x+1) = a(x^3 - (x+1)^3) + b(x^2 - (x+1)^2) + c(x - (x+1)) \]
Поскольку:
\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \implies x^3 - (x+1)^3 = -3x^2 - 3x - 1 \] \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \implies x^2 - (x+1)^2 = -2x - 1 \] \[ x - (x+1) = -1 \]
Таким образом,
\[ S(x) = a(-3x^2 - 3x - 1) + b(-2x - 1) + c(-1) \] \[ = -3ax^2 - (3a + 2b)x - (a + b + c) \]
Заметим, что \( S(38) + S(39) = 0 \) подразумевает, что \( S(x) \) является кубическим многочленом, и его значения в двух точках \( x=38 \) и \( x=39 \) равны, что указывает на то, что \( S(x) \) либо константа, либо имеет наименьшую степень, которая указывает на наличие как минимум одного корня.
Тогда многочлен имеет вид:
\[ 3a + 2b = 0 \quad (1) \] \[ a + b + c = 0 \quad (2) \]
Из (1): \[ b = -\frac{3}{2} a \] Подставим \( b \) в (2): \[ a - \frac{3}{2}a + c = 0 \implies -\frac{1}{2}a + c = 0 \implies c = \frac{1}{2}a \]
Таким образом, \( P(x) \) можно выразить как:
\[ P(x) = ax^3 - \frac{3}{2} ax^2 + \frac{1}{2} ax + d \]
Следовательно, факторы многочлена P(x) являются его корнями, и их сумма равна:
\[ -k = r_1 + r_2 + r_3 \]
Так как с учетом нашего выражения для коэффицентов:
\[ \text{Сумма всех корней} = -\frac{b}{a} = -\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \]
Таким образом, удвоенная сумма всех корней равна:
\[ 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \]
Ответ:
\[ \boxed{3} \]
