Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч, а скорость плавания друзей относительно воды как ( u ) км/ч.
Когда они плывут по течению, их общая скорость составляет ( u + v ) км/ч. Когда они плывут против течения, скорость равна ( u - v ) км/ч.
По условию задачи:
- Место, где они плывут по течению (всего 10 км), они делят на части по 3 км.
- Место, где они плывут против течения, делится на части по 2 км.
Время, затраченное на каждую часть по течению:
[
t_{\text{по течению}} = \frac{3}{u + v}
]
Время, затраченное на каждую часть против течения:
[
t_{\text{против течения}} = \frac{2}{u - v}
]
Согласно условию задачи, время, затраченное на 3 км по течению, равно времени, затраченному на 2 км против течения:
[
\frac{3}{u + v} = \frac{2}{u - v}
]
Перемножим обе стороны на ((u + v)(u - v)) для устранения дробей:
[
3(u - v) = 2(u + v)
]
Раскроем скобки:
[
3u - 3v = 2u + 2v
]
Упрощаем уравнение:
[
3u - 2u = 2v + 3v
]
[
u = 5v
]
Теперь подставим (u = 5v) обратно в уравнение времени. Они плыли 10 км (половина - по течению, половина - против течения), время в пути совпадает с заданным временем 5 часов.
Общее время:
[
t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = \frac{5}{u + v} + \frac{5}{u - v}
]
Так как общий путь 10 км, значит:
[
t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 5
]
Сначала находим каждого:
Для плывущих по течению:
[
t_{\text{по течению}} = \frac{5 \text{ км}}{u + v} = \frac{5}{5v + v} = \frac{5}{6v}
]
Для плывущих против течения:
[
t_{\text{против течения}} = \frac{5 \text{ км}}{u - v} = \frac{5}{5v - v} = \frac{5}{4v}
]
Сравниваем:
[
\frac{5}{6v} + \frac{5}{4v} = 5
]
Приводим к общему знаменателю:
[
\frac{10}{12v} + \frac{15}{12v} = 5 \Rightarrow \frac{25}{12v} = 5
]
Перемножаем на (12v):
[
25 = 60v \Rightarrow v = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}
]
Таким образом, скорость течения ( v = \frac{5}{12} ) км/ч.
