Два друга в одной лодке проплыли по реке вдоль берега и вернулись по тому же самому маршруту по реке через 5 ч после момента отплытия. Весь путь составил 10 км. Каждые 2 км против…

Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч, а скорость плавания друзей относительно воды как \( u \) км/ч.

Когда они плывут по течению, их общая скорость составляет \( u + v \) км/ч. Когда они плывут против течения, скорость равна \( u - v \) км/ч.

По условию задачи:

1. Место, где они плывут по течению (всего 10 км), они делят на части по 3 км.
2. Место, где они плывут против течения, делится на части по 2 км.

Время, затраченное на каждую часть по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{3}{u + v} \]

Время, затраченное на каждую часть против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{2}{u - v} \]

Согласно условию задачи, время, затраченное на 3 км по течению, равно времени, затраченному на 2 км против течения: \[ \frac{3}{u + v} = \frac{2}{u - v} \]

Перемножим обе стороны на \((u + v)(u - v)\) для устранения дробей: \[ 3(u - v) = 2(u + v) \] Раскроем скобки: \[ 3u - 3v = 2u + 2v \] Упрощаем уравнение: \[ 3u - 2u = 2v + 3v \] \[ u = 5v \]

Теперь подставим \(u = 5v\) обратно в уравнение времени. Они плыли 10 км (половина - по течению, половина - против течения), время в пути совпадает с заданным временем 5 часов.

Общее время: \[ t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = \frac{5}{u + v} + \frac{5}{u - v} \]

Так как общий путь 10 км, значит: \[ t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 5 \]

Сначала находим каждого: Для плывущих по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{5 \text{ км}}{u + v} = \frac{5}{5v + v} = \frac{5}{6v} \]

Для плывущих против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{5 \text{ км}}{u - v} = \frac{5}{5v - v} = \frac{5}{4v} \]

Сравниваем: \[ \frac{5}{6v} + \frac{5}{4v} = 5 \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{10}{12v} + \frac{15}{12v} = 5 \Rightarrow \frac{25}{12v} = 5 \] Перемножаем на \(12v\): \[ 25 = 60v \Rightarrow v = \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \]

Таким образом, скорость течения \( v = \frac{5}{12} \) км/ч.