Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите такую плоскость, определяемую вершинами куба и содержащую прямую CC1, которая: а) параллельна одной из граней куба; б) не параллельна ни одной из…

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1, где вершины имеют следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

а) Плоскость, параллельная одной из граней куба

Плоскость, содержащая прямую CC1, и параллельная, например, грани ABCD (которая лежит в плоскости z=0), может быть задана уравнением z = k, где k — произвольное значение. Такое уравнение описывает плоскость, параллельную грани ABCD и содержащую прямую CC1, поскольку C1 будет находиться на плоскости z=1 и C на плоскости z=0.

б) Плоскость, не параллельная ни одной из граней куба

Плоскость, не параллельная ни одной из граней куба, может быть задана, например, уравнением, которое не зависит от одной из координат, например: x + y + z = 1. Эта плоскость будет пересекаться с прямой CC1 (которая имеет параметрическое уравнение: C(1, 1, 0) и C1(1, 1, 1)).

Пересечение прямой B1C с плоскостью

Теперь давайте найдем, есть ли точки пересечения у прямой B1C и плоскости x + y + z = 1.

Для этого выразим прямую B1C:

• B1 имеет координаты (1, 0, 1)
• C имеет координаты (1, 1, 0)

Параметрическое уравнение прямой B1C можно записать как:

x = 1,
y = t,
z = 1 - t,

где t изменяется от 0 до 1. Подставим это уравнение в уравнение плоскости x + y + z = 1:

1 + t + (1 - t) = 1.
1 + 1 = 1,
2 = 1.

Это уравнение не имеет решения, следовательно, прямая B1C не пересекает данную плоскость.

Ответ

а) Плоскость параллельная грани куба: например, z = 0 (через CC1).
б) Плоскость, не параллельная: x + y + z = 1 (содержит CC1).
Прямая B1C не имеет общих точек с плоскостью x + y + z = 1.