Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре- угольника, равен 120 deg Высота, проведённая к боковой сторо- не, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол A равен 120°, и AB = AC (боковые стороны). Обозначим основание BC как \( x \), а высоту, проведённую из вершины A на основание BC, как \( h = 9 \) см.

Разделим треугольник ABC на два прямоугольных треугольника, проведя высоту AH к основанию BC. Обозначим точки пересечения высоты с основанием как H. Таким образом, мы имеем два треугольника: AHB и AHC.

Поскольку AB = AC и угол A равен 120°, углы B и C равны по 30° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, и 180° - 120° = 60°, потому что углы B и C равенством, каждый из них составляет 60° / 2 = 30°).

В нашем прямоугольном треугольнике AHB угол AHB равен 90°, угол B равен 30°.

Известно, что: \[ \sin(30°) = \frac{h}{AB} \]

Высота h равна 9 см, следовательно: \[ \sin(30°) = \frac{9}{AB} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{9}{AB} \] \[ AB = 18 \text{ см} \]

Теперь находим основание BC. В треугольнике AHB, где угол B = 30° и высота AH = 9 см, можно найти длину BH: \[ \tan(30°) = \frac{AH}{BH} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{BH} \]

Перепишем это уравнение: \[ BH = 9\sqrt{3} \text{ см} \]

Так как BH = HC (так как H — середина основания BC), длина основания BC равна: \[ BC = BH + HC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см} \]

Итак, основание треугольника равно \( 18\sqrt{3} \) см.